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放大器的线性化分析

MOS的小信号模型

放大器的基本原理是利用压控压源（VCCS）将输入电压转化为电流，再用电阻将电流转化为输出电压。

CS组态的MOS可以作为VCCS：

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\[ I_D = \frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{i}-V_t)^2 \]
\[ V_o=V_{DD}-I_D\cdot R_L \]

为此需要通过偏置把输入电压带入合适的工作区。我们定义静态工作点栅极过驱动电压\(V_{ov}=V_{I}-V_t\)（无输入信号时\(V_{ov}=V_{GS}-V_t\)）。

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\[ \begin{aligned} V_o+\Delta V_o&=V_{DD}-\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{ov}+\Delta V_i)^2\cdot R\\ \Delta V_o&=-\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}R\left[(V_{ov}+\Delta V_i)^2-V_{ov}^2\right]\\ &=-\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}R\left[2V_{ov}\Delta V_i + (\Delta V_i)^2\right]\\ &=-\frac{2I_D}{V_{ov}}\cdot R\cdot \Delta V_i \cdot\left[1+\frac{\Delta V_i}{2V_{ov}}\right] \end{aligned} \]

假设\(\Delta V_i\ll V_{ov}\)，则

\[ \boxed{\Delta V_o=-\frac{2I_D}{V_{ov}}\cdot R\cdot \Delta V_i} \]

定义跨导

\[ \boxed{g_m=\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}=\frac{2I_D}{V_{ov}}} \]

实际晶体管中，漏极电流与\(V_{DS}\)有弱相关性，进而

\[ I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{ov})^2\cdot \color{red}{(1+\lambda V_{DS})} \]

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因此从小新好看，有限的\(\dfrac{\mathrm dI_D}{\mathrm dV_{DS}}\)等效为与工作点有关的输出电导

\[ \begin{aligned} g_{ds} &= \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} = \lambda I_D \\ \end{aligned} \]

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性能指标

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\[ H(s)=\frac{v_o(s)}{v_i(s)}=\frac{-g_mR}{1+sR_iC_{gs}} \]

直流电压增益：\(A_{DC}=-g_mR\)，利用确定的\(A_{DC}\)和负载\(R\)求出需要的跨导\(g_m\)

带宽：\(f_{3\mathrm{dB}}=\dfrac{1}{2\pi R_i C_{gs}}\)，希望降低\(C_{gs}\)以提高带宽

功耗：\(P=V_{DD}I_D\)，希望降低\(I_D\)以降低功耗

因此从器件的角度，我们希望MOS提供\(g_m\)的情况下不产生很大的\(I_D\)和\(C_{gs}\)。因此可以定义“性能指标”

\[ \frac{g_m}{I_D}=\frac{2}{V_{ov}}\text{和} \frac{g_m}{C_{gs}}=\frac{3\mu V_{OV}}{2L^2} \]

分别称为跨导效率和特征频率，它们都与过驱动电压\(V_{ov}\)有关。如果将其相乘，得到

\[ \frac{g_m}{I_D}\cdot \frac{g_m}{C_{gs}}=\frac{3\mu}{L^2} \]

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工艺演进的影响

得益于“摩尔定律”，特征尺寸以及最小沟道长度不断缩小。\(L_{min}\)大约每 5 年减少 2 倍。1970 年时 Lmin=10μm ，2020 年时 Lmin=10nm。可以通过不同的方式利用工艺微缩：

  1. 面向高速应用:构建更快的电路，利用更大的\(g_m/C_{gs}\),同时保持跨导效率\(g_m/I_D\)不变
  2. 面向低功耗应用:保持带宽\(g_m/C_{gs}\)不变，构建更高能效的电路(\(g_m/I_D\)更大)。

特征指标

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特征频率定义为共源电流增益为1的频率。忽略非本征电容得到

\[ \omega_T=\frac{g_m}{C_{gs}}=\frac{3\mu V_{OV}}{2L^2} \]

本征增益定义为输出电导为零时（\(R_L\to \infty\)）基本共源级可实现最大电压增益。

\[ \begin{aligned} \left|A_{DC}\right|&=g_mR=g_m\cdot\left(R_L\parallel r_o\right)\\ \left|A_{DC}\right|_{max} &= g_m\cdot r_o = \frac{g_m}{g_{ds}} \\ &\approx \frac{1}{\lambda V_{ov}}= \frac{2I_D}{\lambda I_DV_{ov}} \end{aligned} \]
指标 定义 长沟道模型结果
跨导效率 \(g_m / I_D\) \(2 / V_{OV}\)
特征角频率 \(g_m / C_{gs}\) \(\dfrac{3}{2}\dfrac{\mu V_{OV}}{L^2}\)
本征增益 \(g_m / g_{ds}\) \(\approx \dfrac{2}{\lambda V_{OV}}\)

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