气体动理论：研究稳态的气体
关键词 几个常数，各种速度，各种速率，各种分布，理想气体状态方程。
常数
阿伏伽德罗常量： mol
\[
N_A = 6.023\times 10^{23} 个/mol
\]
普适气体常量 ：nTR的R
\[
R=8.31 J/mol\cdot K
\]
玻尔兹曼常量：kT的k
\[
k:=\frac{R}{N_A}=1.38\times 10^{-23}J/K
\]
理想气体状态方程
\[
pV = \nu RT = nkT\\
\nu :摩尔数\\
n:分子数
\]
速率、速度分布
速率分布函数
定义
\[
f(v)dv := \frac{dN_v}N
\]
式中，f称为速率分布函数。其表示：速率在速率v所在的单位速率区间内分子数占总数的比例。
显然有
\[
\int_0^\infty f(v)dv = \int_0^N\frac{dN_{v}}N=1
\]
称为归一化条件。
麦克斯韦分布
麦克斯韦分布为一定条件下速率分布函数的具体形式。
\[
f(v)dv:=\frac{dN_v}{N}=\textcolor{red}{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}}\cdot e^{-\frac{\textcolor{green}{\frac{1}{2}mv^2}}{\textcolor{blue}{kT}}}\textcolor{purple}{4\pi v^2 dv}
\]
以下内容需要背诵
三个速率
- 平均速率
\[
\bar v =\sqrt{\frac{\textcolor{red}{8}kT}{\textcolor{red}\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}
\]
- 方均根速率
\[
v_{rms} = \sqrt{\frac{\textcolor{blue}3kT}{m}}= \sqrt{\frac{3RT}{\pi M}}
\]
- 最可几速率
\[
v_p = \sqrt{\frac{\textcolor{green}2kT}m}=\sqrt{\frac{2RT}M}
\]
归一化分布函数 每个维度的速度都服从正态分布
\[
g(v) = \textcolor{red}{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{1/2}}e^{-\frac{\textcolor{green}{\frac{1}{2}mv^2}}{\textcolor{blue}{kT}}}
\]
从而有速度分布函数
\[
F(\vec v)=g(v_x)\cdot g(v_y)\cdot g(v_z)=\textcolor{red}{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}}e^{-\frac{\textcolor{green}{\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}}{\textcolor{blue}{kT}}}
\]
不难发现，速率分布函数即为速度空间中“球皮的质量”
且速度分布函数与方向无关
于是：
\[
\begin{aligned}
f(v)dv &=\iint_{v^2\leq v_x^2+v_y^2+v_z^2\leq (v+dv)^2} F(\left[ v_x,v_y,v_z\right]^T)dv_xdv_ydv_z\\
&=F(\left[v,0,0\right]^T)\textcolor{purple}{dV}\\
&=\textcolor{red}{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}}e^{-\frac{\textcolor{green}{\frac{1}{2}m(v^2)}}{\textcolor{blue}{kT}}}\textcolor{purple}{4\pi v^2dv}
\end{aligned}
\]
玻尔兹曼分布 ：势场下的密度分布
假设系统处于外势场中，则
\[
dN_{\vec r} = \textcolor{red}{n_0}\cdot e^{-\frac{\textcolor{green}{\varepsilon_p(\vec r)}}{\textcolor{blue}{kT}}}dV
\]
其中
\[
n_0
\]
为零势能面的分子数密度。
玻尔兹曼·麦克斯韦分布 ：势场下的速度分布，就是
\[
玻尔兹曼分布\times麦克斯韦分布
\]
\[
\begin{aligned}
dN(\vec v ,\vec r)
&= \left[\textcolor{red}{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}}e^{-\frac{\textcolor{green}{\frac{1}{2}m(v^2)}}{\textcolor{blue}{kT}}}\right]\times\left[ \textcolor{red}{n_0}\cdot e^{-\frac{\textcolor{green}{\varepsilon_p(\vec r)}}{\textcolor{blue}{kT}}}dVd\vec v\right]\\
&= \textcolor{red}{n_0\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}}e^{-\frac{\textcolor{green}{\frac{1}{2}m(v^2)+\varepsilon_p(\vec r)}}{\textcolor{blue}{kT}}}dVd\vec v
\end{aligned}
\]
能量均分定理
自由度：决定物体空间坐标的独立坐标数
能量均分分定理：每个平动自由度（推广至每个平方项 ）对应平均动能为
\[
\bar\varepsilon=\frac 1 2 kT
\]
从而理想气体内能为
\[
E=(t+r+2v)\frac{1}{2}NkT
=(t+r+2v)\frac{1}{2}\nu RT
\]
平均自由程
平均自由程： 气体分子在相邻两次碰撞之间飞行的平均路程
\[
\bar \lambda = \frac{\bar v}{\bar z}
\]
其中
\[
\begin{aligned}
\bar \lambda &:平均自由程\\
\bar v &:平均速率\\
\bar z &: 平均碰撞频率\\
\bar z &= \textcolor{red}{\sqrt 2 \bar v}\cdot\textcolor{green}{\pi d^2} \cdot n\\
\Rightarrow \bar\lambda &=\frac{1}{\textcolor{red}{\sqrt 2}\textcolor{green}{\pi d^2}n}=\frac{kT}{\sqrt2 \pi d^2p}
\end{aligned}
\]
注意当容器很小的时候，需要考虑碰壁问题，此时
\[
\bar\lambda = d_容
\]
范德瓦尔斯方程
6
群里有正义之士，我也不敢问这玩意考不考：
将气体分子视为有吸引力的刚性球即可得到
\[
\left(p+\frac{a}{V_m^2}\right)(V_m-b)=RT
\]
其中
\[
\begin{aligned}
a &: 常数\\
b&: 常数\\
V_m&:分子体积\\
\end{aligned}
\]
非平衡态 输运过程
输运过程包括：内摩擦（输运分子定向动量），热传导（输运分子无规则运动能量），扩散（输运分子质量），分别服从：
\[
\begin{aligned}
内摩擦&\quad df=-\eta \left(\frac{du}{dz}\right)_{z_0}dS\quad&\eta=\frac{1}{3}mn\bar v\bar \lambda&\quad:粘度\\
热传导&\quad dQ=-\kappa\left(\frac{dT}{dz}\right)_{z_0}
dSdt\quad&\kappa=\frac{1}{3}mn\bar v\bar\lambda C_V\quad&:热导率\\
扩散&\quad dM=-D\left(\frac{d\rho}{dz}\right)_{z0}dSdt\quad&D=\frac{1}{3}\bar v\bar\lambda\quad&:扩散系数
\end{aligned}
\]