LTI系统的时域分析
时域方法通过直接求解微分（积分）方程，利用时间作为变量进行分析。
系统的数学模型在时域的表示
端口描述：系统的输入输出关系可以用端口描述，即输入信号\(e(t)\)和输出信号\(r(t)\)之间的关系。
\[
\sum_{i=0}^nC_i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt^i}r(t)=\sum_{j=0}^mE_j\frac{\mathrm d}{\mathrm dt^j}e(t)
\]
状态方程描述：引入状态向量\(\mathbf s(t)\)，描述系统的内部状态变化
\[
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf s(t)=\mathbf A\mathbf s(t)+\mathbf Be(t)\\
r(t)=\mathbf C\mathbf s(t)+\mathbf D e(t)
\end{cases}
\]
算子符号p：定义为\(\mathrm p=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\)，则系统的输入输出关系可以表示为：
\[
\frac{C_n\mathrm p^n+C_{n-1}\mathrm p^{n-1}+\cdots+C_0}{E_m\mathrm p^m+E_{m-1}\mathrm p^{m-1}+\cdots+E_0}r(t)=e(t)
\]
时域经典法求解微分方程
略
冲激响应和阶跃响应
信号可分解为冲激 (阶跃) 信号之和，根据 LTI 系统的特点，可以将冲激 (阶跃) 响应组合后得到原信号的零状态响应。
冲激信号\(\delta(t)\)在\(t\geq 0_+\)为0，因此冲激响应为齐次解
\[
h(t)=A_1e^{\alpha_1t}+A_2e^{\alpha_2t}+\cdots+A_ne^{\alpha_nt}\,,t\geq 0_+
\]
也可能出现冲激项及其各阶导数
\[
h(t)=A_1e^{\alpha_1t}+A_2e^{\alpha_2t}+\cdots+A_ne^{\alpha_nt}+D_0\delta(t)+D_1\delta'(t)+\cdots+D_{k}\delta^{(k)}(t)
\]
一般情况下\(k=0\),即没有高阶导数。
零状态响应是激励信号和冲激响应的卷积，即
\[
r(t)=e(t)\ast h(t)=\int_{-\infty}^\infty e(\tau)h(t-\tau)\mathrm d\tau
\]
卷积的步骤：
- 反褶：将\(h(\tau)\)反转得到\(h(-\tau)\),\(\tau\)为变量
- 平移：将\(h(-\tau)\)右移\(t\)得到\(h(t-\tau)\),\(t\)为常量
- 乘积：将\(e(\tau)\)和\(h(t-\tau)\)相乘得到\(e(\tau)h(t-\tau)\)
- 积分：对乘积在\(\tau\in(-\infty,\infty)\)积分得到卷积结果\(r(t)\),改变\(t\)的值可以取遍感兴趣的区间
若以\(e^{st}\)为输入，输出为
\[
\begin{aligned}
r(t)&=e^{st}\ast h(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{s\tau}h(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=e^{st}\int_{-\infty}^\infty e^{-s(t-\tau)}h(t-\tau)\mathrm d\tau\\
&=e^{st}\int_{-\infty}^\infty e^{-s\tau}h(\tau)\mathrm d\tau\\
&=e^{st}H(s)\\
\text{其中}H(s)&=\int_{-\infty}^\infty e^{-s\tau}h(\tau)\mathrm d\tau
\end{aligned}
\]
可见\(e^{st}\)是系统的特征函数，对应的输出为\(H(s)e^{st}\)，其中\(H(s)\)是系统的特征值。
卷积性质
\[
f_1(t)\ast f_2(t)=\int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm d\tau
\]
代数性质：
- 交换律：\(f_1\ast f_2=f_2\ast f_1\)
- 结合律：\((f_1\ast f_2)\ast f_3=f_1\ast(f_2\ast f_3)\)
- 分配律：
\[
f_1\ast(f_2+f_3)=f_1\ast f_2+f_1\ast f_3
\]
拓扑性质
- 微分性质：\(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(f_1(t)\ast f_2(t))=\dfrac{\mathrm df_1(t)}{\mathrm dt}\ast f_2(t)\)
- 积分性质：\(\displaystyle\int_{-\infty}^t f_1(\tau)\ast f_2(\tau)\mathrm d\tau=\int_{-\infty}^t f_1(\tau)\mathrm d\tau\ast f_2(t)\)
位移性质：若\(f_1(t)\ast f_2(t)=c(t)\)，则
\[
f_1(t-T_1)\ast f_2(t-T_2)=c(t-T_1-T_2)
\]
筛选特性：\(f(t)\ast\delta(t-t_0)=f(t-t_0)\)