数字基带传输

数字通信系统最终要传送的是 bit，但实际信道只能接受连续时间波形。数字基带传输要完成两次转换：发送端把 bit 映射成符号，再把离散符号加载到连续波形上；接收端从带噪波形中提取抽样值，判决出符号，最后再解映射成 bit。

从 bit 到符号

设可用符号构成集合

\[ \mathcal A=\{a_1,a_2,\ldots,a_M\},\qquad M=|\mathcal A| \]

若符号数是 2 的整数次幂，一个符号最多承载

\[ r=\log_2|\mathcal A|=\log_2M \]

个 bit。这里的“符号”是 bit 串的物理承载，可以表现为不同幅度、相位或二维坐标，因此常见符号集合包括 ASK、PAM、PSK 和 QAM。

从 bit 串到符号集合的一一映射通常采用 Gray 码。Gray 映射使相邻符号所对应的 bit 串只相差一位。这样，即使噪声把一个符号推到最近的相邻符号，一次符号错误通常也只造成一位 bit 错误。

传送一个符号所需的平均时间称为符号周期，记作 \(T_s\)。符号速率与 bit 速率分别为

\[ R_s=\frac{1}{T_s},\qquad R_b=R_s\log_2M=\frac{\log_2M}{T_s} \]

若系统没有引入冗余编码，每符号能量 \(E_s\)、每 bit 能量 \(E_b\) 和平均信号功率 \(P\) 满足

\[ P=\frac{E_s}{T_s}=E_sR_s=E_bR_b,\qquad E_s=E_b\log_2M \]

从离散符号到连续波形

连续时间基带波形可以写成一组平移脉冲的线性组合：

\[ s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kh(t-kT_s) \]

其中 \(a_k\) 是第 \(k\) 个符号，\(h(t)\) 是脉冲成形滤波器的冲激响应。工程上先形成加权冲激串

\[ s_\delta(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(t-kT_s) \]

再令它通过传递函数为 \(H(f)\) 的低通滤波器，便可实时产生 \(s(t)\)：

\[ s(t)=s_\delta(t)*h(t) \]

时间平移不会改变信号带宽，带限信号的线性组合仍然带限，所以只要 \(h(t)\) 带限，整个基带波形也带限。理想低通脉冲的典型形状是

\[ h(t)=\frac{\sin 2\pi Wt}{2\pi Wt} \]

它的频谱是支撑在 \([-W,W]\) 内的矩形。比例常数可以随归一化方式调整，接下来通常令抽样主值为 1。

符号间串扰与眼图

先把发送、信道和接收滤波的总作用记为等效脉冲 \(g(t)\)。在 \(t=nT_s\) 处抽样，有

\[ s(nT_s)=a_ng(0)+\sum_{\substack{k=-\infty\\k\ne n}}^{\infty}a_kg\bigl((n-k)T_s\bigr) \]

第一项是当前符号的贡献，后面的求和是其他符号在当前抽样时刻留下的符号间串扰，即 ISI。归一化为 \(g(0)=1\) 后，对任意符号序列都无 ISI 的充要条件是

\[ g(kT_s)=\begin{cases}1,&k=0,\\0,&k\ne0.\end{cases} \]

这项条件只要求脉冲在整数倍符号周期处过零，并不要求各个脉冲在其余时刻互不重叠。

眼图把许多段接收波形按符号周期对齐并叠加，可以直观看出 ISI。眼睛张得越开，最佳抽样时刻的噪声容限越大；最佳抽样点处的斜率反映系统对定时误差的敏感程度；交叉点的模糊则反映过零抖动和定时抖动。ISI 增大时，眼睛逐渐闭合，严重时不同电平在抽样点已经无法区分。

纵向虚线是最佳抽样时刻。左图在该处仍能清楚分开正、负电平；右图中前后符号的影响被带到同一抽样时刻，出现靠近判决门限的多组电平，眼睛随之闭合。

Nyquist 无 ISI 准则

时域无 ISI 条件也可以写成

\[ g(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t+nT_s)=\delta(t) \]

对上式作傅里叶变换，利用时域相乘对应频域卷积，得到

\[ G(f)*\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f+\frac{n}{T_s}\right)=1 \]

也就是 Nyquist 第一准则：

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}G\left(f+\frac{n}{T_s}\right)=T_s \]

它的直观含义是，把等效脉冲频谱按 \(1/T_s\) 的间隔反复平移，所有频谱副本叠加后必须在任意频率处都等于同一个常数。

若低通脉冲的单边带宽为 \(W\)，当 \(T_s<1/(2W)\) 时，相邻频谱副本之间会留下无法填平的空隙，因此不可能满足 Nyquist 准则。临界情况是

\[ T_s=\frac{1}{2W},\qquad R_s=2W \]

此时只有理想矩形低通频谱可以达到最大符号速率。若 \(T_s>1/(2W)\)，相邻频谱会在过渡带重叠，只要重叠部分满足残留对称条件，叠加结果仍可保持为常数。因此

\[ R_s\le 2W \]

结合 \(R_b=R_s\log_2M\)，可得

\[ R_b\le2W\log_2M \]

带宽效率定义为单位带宽所承载的 bit 速率：

\[ \eta_b=\frac{R_b}{W}\le2\log_2M\quad\text{bit/(s·Hz)} \]

增大符号集合可以提高带宽效率，但每个符号所包含的 bit 越多，接收端区分不同符号通常也越困难。

升余弦脉冲

理想矩形低通难以实现，工程上常用满足残留对称条件的升余弦滤波器。设滚降系数为 \(\alpha\)，其频率响应为

\[ H_{\mathrm{RC}}(f)=\begin{cases}T_s,&0\le|f|<\dfrac{1-\alpha}{2T_s},\\\dfrac{T_s}{2}\left\{1+\cos\left[\dfrac{\pi T_s}{\alpha}\left(|f|-\dfrac{1-\alpha}{2T_s}\right)\right]\right\},&\dfrac{1-\alpha}{2T_s}\le|f|\le\dfrac{1+\alpha}{2T_s},\\0,&|f|>\dfrac{1+\alpha}{2T_s}.\end{cases} \]

对应的时域冲激响应为

\[ h_{\mathrm{RC}}(t)=\operatorname{Sa}\left(\frac{\pi t}{T_s}\right)\frac{\cos(\alpha\pi t/T_s)}{1-4(\alpha t/T_s)^2},\qquad \operatorname{Sa}(x)=\frac{\sin x}{x} \]

滚降系数也可以从带宽关系直接读出：

\[ \alpha=2WT_s-1,\qquad 0\le\alpha\le1 \]

\(\alpha=0\) 对应理想矩形低通，频谱最紧凑但实现困难；\(\alpha=1\) 时没有平坦通带，过渡最平缓。课件给出的常用工程范围为 \(0.3\) 到 \(0.7\)。升余弦滤波器的带宽与符号速率满足

\[ W=\frac{1+\alpha}{2T_s}=\frac{1+\alpha}{2}R_s,\qquad R_s=\frac{2W}{1+\alpha} \]

所以

\[ \frac{R_s}{2}\le W\le R_s,\qquad W\le R_s\le2W \]

其带宽效率为

\[ \eta_b=\frac{R_s\log_2M}{W}=\frac{2\log_2M}{1+\alpha} \]

较大的 \(\alpha\) 让过渡带更宽、滤波器更容易实现，代价是带宽效率下降。

频域图把滚降系数的代价画得很直观：\(\alpha\)越大，占用带宽越宽，过渡却越平缓。时域波形虽然不同，但都在非零整数倍\(T_s\)处过零，因此抽样点仍满足无ISI条件。

基带波形的功率谱

通信波形

\[ s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kh(t-kT_s) \]

通常不是宽平稳过程，而是满足

\[ R_s(t_1,t_2)=R_s(t_1+kT_s,t_2+kT_s) \]

的周期平稳过程。先对自相关函数在一个符号周期内作时间平均：

\[ \overline R_s(\tau)=\frac{1}{T_s}\int_0^{T_s}R_s(t+\tau,t)\,\mathrm dt \]

功率谱定义为

\[ S_s(f)=\mathcal F\{\overline R_s(\tau)\} \]

为了从符号统计量出发计算功率谱，定义离散符号序列的自相关函数

\[ R_a[n]=\mathbb E[a_i a_{i+n}] \]

把有限长符号串截断后按功率谱定义取极限，可以得到冲激串输入的功率谱以及成形滤波后的功率谱：

\[ S_{s_\delta}(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}R_a[n]e^{-j2\pi fnT_s},\qquad S_s(f)=\frac{|H(f)|^2}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}R_a[n]e^{-j2\pi fnT_s} \]

若调制无记忆、各符号相互独立，记

\[ m_a=\mathbb E[a_i],\qquad \sigma_a^2=\mathbb E[a_i^2]-m_a^2 \]

则

\[ R_a[n]=\begin{cases}\sigma_a^2+m_a^2,&n=0,\\m_a^2,&n\ne0.\end{cases} \]

再利用冲激串的傅里叶级数关系

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-jn(2\pi T_s)f}=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_s}\right) \]

得到

\[ \begin{aligned}S_s(f)&=\frac{|H(f)|^2}{T_s}\left\{\sigma_a^2+\frac{m_a^2}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_s}\right)\right\}\\&=\frac{\sigma_a^2}{T_s}|H(f)|^2+\frac{m_a^2}{T_s^2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|H\left(\frac{n}{T_s}\right)\right|^2\delta\left(f-\frac{n}{T_s}\right).\end{aligned} \]

第一项是连续谱，第二项是在 \(n/T_s\) 处出现的线谱。这一结果有两个前提：符号之间无记忆，而且不同符号都作为系数加载到同一个脉冲 \(h(t)\) 上。若符号均值为零，线谱消失；非零均值则可能留下符号时钟的谐波，便于接收端恢复时钟。

例如，若 bit 1 以概率 \(3/4\) 映射为 \(A\)，bit 0 以概率 \(1/4\) 映射为 \(-A\)，则

\[ m_a=\frac{A}{2},\qquad \sigma_a^2=\frac{3A^2}{4} \]

功率谱为

\[ S_s(f)=\frac{3A^2}{4T_s}|H(f)|^2+\frac{A^2}{4T_s^2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|H\left(\frac{n}{T_s}\right)\right|^2\delta\left(f-\frac{n}{T_s}\right) \]

任意波形二元调制

更一般地，两个符号可以分别映射为两个不同形状的波形。设

\[ s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}g_k(t),\qquad g_k(t)=\begin{cases}s_1(t-kT_s),&\text{概率 }p,\\s_2(t-kT_s),&\text{概率 }\overline p=1-p.\end{cases} \]

把 \(s(t)\) 分成均值分量 \(v(t)=\mathbb E[s(t)]\) 和零均值随机分量 \(q(t)=s(t)-v(t)\)，有

\[ v(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[ps_1(t-kT_s)+\overline p\,s_2(t-kT_s)\right] \]

\(v(t)\) 是周期为 \(T_s\) 的确定性周期信号。若 \(\widehat s_1(f)\)、\(\widehat s_2(f)\) 分别表示 \(s_1(t)\)、\(s_2(t)\) 的傅里叶变换，其傅里叶级数系数为

\[ D_n=\frac{1}{T_s}\left[p\widehat s_1\left(\frac{n}{T_s}\right)+\overline p\,\widehat s_2\left(\frac{n}{T_s}\right)\right] \]

随机分量则可以写成同一差波形的线性调制：

\[ q(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\left[s_1(t-kT_s)-s_2(t-kT_s)\right],\qquad a_k=\begin{cases}\overline p,&\text{概率 }p,\\-p,&\text{概率 }\overline p.\end{cases} \]

此时 \(\mathbb E[a_k^2]=p\overline p\)，不同 \(a_k\) 之间不相关，因此连续谱为

\[ S_q(f)=\frac{p\overline p}{T_s}\left|\widehat s_1(f)-\widehat s_2(f)\right|^2 \]

合并均值分量的线谱后，得到

\[ S_s(f)=\frac{p\overline p}{T_s}\left|\widehat s_1(f)-\widehat s_2(f)\right|^2+\frac{1}{T_s^2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|p\widehat s_1\left(\frac{n}{T_s}\right)+\overline p\,\widehat s_2\left(\frac{n}{T_s}\right)\right|^2\delta\left(f-\frac{n}{T_s}\right) \]

前一项来自两个波形之差，后一项来自两种波形的概率加权平均。

AWGN 波形信道

基带传输的接收波形写成

\[ y(t)=s(t)+n(t) \]

课件假设 \(n(t)\) 是零均值加性白高斯噪声。它是宽平稳随机过程，自相关函数与双边功率谱密度分别为

\[ R_n(\tau)=\mathbb E[n(t)n(t+\tau)]=\frac{n_0}{2}\delta(\tau),\qquad S_n(f)=\frac{n_0}{2} \]

其中 \(n_0\) 是单边噪声功率谱密度。若接收机只保留 \(|f|\le W\) 的频率，噪声功率为

\[ N=\int_{-W}^{W}\frac{n_0}{2}\,\mathrm df=n_0W \]

白噪声的瞬时值并不适合直接抽样，因为理想模型下

\[ \operatorname{Var}[n(t_1)]=R_n(0)=\frac{n_0}{2}\delta(0)\to\infty \]

实际系统总会带限，所以方差不会真的无穷大，但只利用某一瞬间的脉冲峰值，抗噪性能仍然很差。

对矩形脉冲，可以先在一个符号周期内积分，再作抽样。积分后的噪声仍是高斯随机变量：

\[ n_I=\int_0^{T_s}n(t)\,\mathrm dt \]

其方差为

\[ \begin{aligned}\sigma_I^2&=\mathbb E\left[\left|\int_0^{T_s}n(t)\,\mathrm dt\right|^2\right]\\&=\int_0^{T_s}\int_0^{T_s}\frac{n_0}{2}\delta(t_1-t_2)\,\mathrm dt_1\mathrm dt_2\\&=\frac{n_0T_s}{2}.\end{aligned} \]

积分会使噪声中的正负起伏部分抵消，而矩形信号始终同号累积，因此明显优于直接抽样。不过，对一般形状的 \(h(t)\) 平权积分未必最优，需要按脉冲形状加权。

匹配滤波器

相关器也可以改写成滤波器。设接收滤波器的冲激响应为 \(h_m(t)\)，其输出为

\[ y_m(t)=\int_{-\infty}^{\infty}[a_ih(\tau)+n(\tau)]h_m(t-\tau)\,\mathrm d\tau \]

要求在 \(t=T_s\) 处的滤波器输出与相关器相同，可取

\[ h_m(t)=h^*(T_s-t) \]

也就是说，匹配滤波器的冲激响应是已知信号的共轭、时间反转和延迟。实信号时共轭可以省略。

以矩形脉冲为例，相关器输出在积分区间内单调上升，匹配滤波器输出则是三角形。两条连续时间波形并不相同，但在\(t=T_s\)处都取得同一个判决统计量；匹配滤波器的峰值也正好落在这一抽样时刻。

其频域形式为

\[ H_m(f)=H^*(f)e^{-j2\pi fT_s} \]

匹配滤波器的传递函数与信号频谱的复共轭成正比，线性相位项只负责把峰值移到预定抽样时刻。频域推导同样由 Cauchy-Schwarz 不等式得到：

\[ \frac{\left|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)H_m(f)e^{j2\pi fT_s}\,\mathrm df\right|^2}{\dfrac{n_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H_m(f)|^2\,\mathrm df}\le\frac{2}{n_0}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2\,\mathrm df \]

匹配滤波的增益来自两点：已知脉冲在整个符号周期内相干累加，而白噪声在累加过程中部分抵消。对矩形脉冲，平权积分本来就与脉冲形状匹配；对一般脉冲，匹配滤波相对于平权积分的信噪比增益为

\[ G_{\mathrm{match}}=\frac{T_s\int_0^{T_s}|h(t)|^2\,\mathrm dt}{\left|\int_0^{T_s}h(t)\,\mathrm dt\right|^2}\ge1 \]

模拟相干解调也利用了相干性，但它通过载波相乘把一部分噪声搬到高频，再由低通滤波器去除。基带匹配滤波没有 I、Q 分解，其增益来自时间方向上的信号相干叠加和噪声自我抵消。

对整个符号集合取平均，定义

\[ E_s=\mathbb E[|a_i|^2]\int_0^{T_s}|h(t)|^2\,\mathrm dt \]

则匹配滤波后的抽样信噪比为

\[ \left(\frac{S}{N}\right)_o=\frac{E_s}{n_0/2}=\frac{2E_s}{n_0} \]

这一结果使用的是等效基带模型，直接体现了整个符号周期内的能量。若从实际带限波形的平均功率出发，则

\[ S=E_sR_s,\qquad N=n_0W,\qquad \frac{S}{N}=\frac{E_s}{n_0}\frac{R_s}{W} \]

由 \(R_s/W\le2\) 可知，仅作理想带限时的信噪比上限也是 \(2E_s/n_0\)。对滚降系数为 \(\alpha\) 的升余弦系统，带限后的信噪比为

\[ \left(\frac{S}{N}\right)_i=\frac{E_s}{n_0/2}\frac{1}{1+\alpha} \]

匹配滤波后则恢复到 \(E_s/(n_0/2)\)，所以剔除低通带限本身的降噪作用，纯粹由匹配带来的增益是

\[ \frac{(S/N)_o}{(S/N)_i}=1+\alpha=2WT_s \]

带宽越宽，前级会引入更多噪声，但频域匹配的增益也相应增大，两者恰好抵消，因此最佳抽样信噪比最终只由 \(E_s/n_0\) 决定。再利用 \(E_s=E_b\log_2M\)，有

\[ \left(\frac{S}{N}\right)_o=2\log_2M\frac{E_b}{n_0} \]

符号串接收与根 Nyquist 滤波

单符号匹配只解决了噪声下如何得到最高抽样信噪比。传送一串符号时，还必须同时保证抽样点没有 ISI。设发送脉冲为 \(h_T(t)\)，接收端采用匹配滤波器

\[ h_R(t)=h_T^*(T_s-t) \]

去掉噪声后，收发两端的等效脉冲为

\[ g(t)=h_T(t)*h_R(t) \]

其频率响应为

\[ G(f)=H_T(f)H_R(f)=|H_T(f)|^2e^{-j2\pi fT_s} \]

固定时延不影响 ISI 判断，因此要求 \(|H_T(f)|^2\) 本身是一个满足 Nyquist 第一准则的频率响应 \(H_{\mathrm{N-I}}(f)\)。这就是根 Nyquist 条件：

\[ |H_T(f)|^2e^{-j2\pi fT_s}=H_{\mathrm{N-I}}(f)e^{-j2\pi fT_s} \]

可以把满足 Nyquist 准则的滤波器平方根平均分给发送端和接收端：

\[ H_T(f)=\sqrt{H_{\mathrm{N-I}}(f)}e^{-j\pi fT_s},\qquad H_R(f)=\sqrt{H_{\mathrm{N-I}}^*(f)}e^{-j\pi fT_s} \]

若 \(H_{\mathrm{N-I}}(f)\) 取升余弦响应，发送端与接收端采用的就是根升余弦滤波器，二者级联后得到完整的升余弦响应。记 \(h_{\sqrt{N}}(t)\) 为 \(\sqrt{H_{\mathrm{N-I}}(f)}\) 的傅里叶反变换，则课件采用的时移写法为

\[ h_T(t)=h_{\sqrt{N}}\left(t-\frac{T_s}{2}\right),\qquad h_R(t)=h_{\sqrt{N}}\left(\frac{T_s}{2}-t\right)=h_T(T_s-t) \]

经过匹配滤波并吸收固定时延后，第 \(i\) 个抽样可以写成

\[ y_i=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kg\bigl((i-k)T_s\bigr)+n_i \]

根 Nyquist 条件使 \(g((i-k)T_s)=0\) 对所有 \(k\ne i\) 成立，因而其他符号的贡献全部消失。把匹配滤波器作单位噪声方差归一化，令

\[ \overline h=\sqrt{\int_0^{T_s}|h_T(t)|^2\,\mathrm dt} \]

则接收符号模型可以写成

\[ y_i=\overline h\,a_i+n_i,qquad n_i\sim\mathcal N\left(0,\frac{n_0}{2}\right) \]

再除以 \(\overline h\)，不会改变信噪比：

\[ y_i'=a_i+n_i',\qquad n_i'\sim\mathcal N\left(0,\frac{n_0}{2\int_0^{T_s}|h_T(t)|^2\,\mathrm dt}\right) \]

这样，连续时间的带噪波形信道最终化成了离散的加性高斯电平信道。匹配滤波负责让抽样点信噪比最大，根 Nyquist 条件负责消除抽样点 ISI；判决器再把 \(y_i'\) 归到合法符号集合 \(\mathcal A\) 中。等概、等代价的实数电平在 AWGN 下采用最近邻判决，相邻电平的判决边界位于两者中点。

符号的最佳判决

匹配滤波器把连续波形的接收问题化成了电平信道

\[ y=a+n \]

其中发送符号\(a\)取自符号集合\(U\)，\(n\sim\mathcal N(0,\sigma^2)\)。接收机观察到\(y\)后，需要从\(U\)中选出最可能的发送符号。最大后验概率（Maximum A Posteriori, MAP）判决为

\[ \hat a_{\mathrm{MAP}}=\argmax_{a\in U}p(a|y)=\argmax_{a\in U}p(y|a)p(a) \]

这个准则直接最大化正确判决概率。通信系统通常让各符号等概出现，此时\(p(a)=1/M\)，MAP判决退化成最大似然（Maximum Likelihood, ML）判决：

\[ \hat a_{\mathrm{ML}}=\argmax_{a\in U}p(y|a) \]

在加性高斯噪声下

\[ p(y|a)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left[-\frac{(y-a)^2}{2\sigma^2}\right] \]

指数函数随\(|y-a|\)增大而减小，所以ML判决又等价于最小距离判决：

\[ \boxed{\hat a=\argmin_{a\in U}|y-a|} \]

因此，相邻两个许用电平的中点就是判决门限。以双极性二元集合\(U=\{-A,A\}\)为例，门限为零，\(y>0\)时判为\(A\)，\(y<0\)时判为\(-A\)。

若符号并非等概出现，先验概率会移动判决门限。对于\(U=\{a_0,a_1\}\)，MAP判决的门限可由

\[ p(y|a_1)p(a_1)\mathop{\gtrless}_{a_0}^{a_1}p(y|a_0)p(a_0) \]

求出，此时不能直接套用几何中点。

误符号率与误比特率

高斯噪声的尾概率写成\(Q\)函数：

\[ Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)\mathrm dt \]

若符号到某一侧判决门限的距离为\(A\)，越过该门限的条件差错概率就是

\[ Q\left(\frac{A}{\sigma}\right) \]

对于等概双极性二元符号\(U=\{-A,A\}\)，两个符号的差错概率相同，因此

\[ P_s=Q\left(\frac{A}{\sigma}\right) \]

定义平均信号功率和噪声功率

\[ S=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^M|a_i|^2,\qquad N=\sigma^2 \]

二元双极性码有\(S=A^2\)，于是

\[ P_s=Q\left(\sqrt{\frac{S}{N}}\right) \]

单极性二元集合\(U=\{0,2A\}\)的符号间距仍为\(2A\)，但平均功率为\(S=2A^2\)，所以

\[ P_s=Q\left(\sqrt{\frac{S}{2N}}\right) \]

相同误符号率下，单极性码需要双极性码两倍的信号功率，即损失\(3\,\mathrm{dB}\)。这部分功率用在了不承载信息的直流分量上。

\(M\)进制PAM

对双极性\(M\)进制PAM，相邻符号间距为\(2A\)。无论\(M\)为奇数还是偶数，最外侧两个符号只有一个差错方向，中间\(M-2\)个符号有两个差错方向，因此

\[ P_s=\frac{2(M-1)}{M}Q\left(\frac{A}{\sigma}\right) \]

其平均功率为

\[ S=\frac{M^2-1}{3}A^2 \]

从而

\[ \boxed{P_s=\frac{2(M-1)}{M}Q\left(\sqrt{\frac{3}{M^2-1}\frac{S}{N}}\right)} \]

对于单极性集合\(U=\{0,2A,\ldots,2(M-1)A\}\)，平均功率为

\[ S=\frac{2(M-1)(2M-1)}{3}A^2 \]

故误符号率为

\[ P_s=\frac{2(M-1)}{M}Q\left(\sqrt{\frac{3}{2(M-1)(2M-1)}\frac{S}{N}}\right) \]

误比特率（Bit Error Rate, BER）统计错误比特数占总传输比特数的比例。采用Gray映射且信噪比较高时，符号通常只会错到最近邻，一个符号错误近似只造成一个比特错误，于是

\[ P_b\approx\frac{P_s}{\log_2M} \]

这个近似对二元码严格成立；对高阶调制，若映射不是Gray码或信噪比较低，就不能直接使用。

课件采用的匹配滤波输出记号满足

\[ \frac{S}{N}=2\log_2M\frac{E_b}{n_0} \]

例如双极性二元码有

\[ P_b=Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{n_0}}\right) \]

MPSK

复电平信道写成

\[ y=a+n,\qquad a=a_I+\mathrm ja_Q,\qquad n=n_I+\mathrm jn_Q \]

其中\(n_I,n_Q\)相互独立且均服从\(\mathcal N(0,\sigma_n^2)\)。\(M\)PSK的星座点位于半径为\(A\)的圆周上：

\[ a_m=A\exp(\mathrm j\phi_m),\qquad \phi_m=\frac{2\pi m}{M},\quad m=0,1,\ldots,M-1 \]

最小距离判决把复平面划成\(M\)个扇区。相邻星座点的中垂线就是判决边界，星座点到最近边界的垂直距离为\(A\sin(\pi/M)\)。

相邻星座点的中垂线构成扇形判决边界。图中的相邻点距离为\(d_{\min}=2A\sin(\pi/M)\)，所以星座点到最近边界的距离恰好是\(d_{\min}/2\)，这就是误符号率近似式中\(A\sin(\pi/M)\)的几何来源。

高信噪比、\(M\)较大时，可以把扇区两条边界局部近似成平行线，两个相邻边界的差错贡献近似相同，因此

\[ P_{s,\mathrm{MPSK}}\approx2Q\left(\sqrt{\frac{S}{N}}\sin\frac{\pi}{M}\right) \]

换成每比特能量后

\[ P_{s,\mathrm{MPSK}}\approx2Q\left(\sqrt{2\log_2M\frac{E_b}{n_0}}\sin\frac{\pi}{M}\right) \]

配合Gray映射，近似BER为

\[ P_{b,\mathrm{MPSK}}\approx\frac{2}{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\log_2M\frac{E_b}{n_0}}\sin\frac{\pi}{M}\right) \]

MQAM

方形\(M\)QAM可以看成两路相互正交的\(\sqrt M\)进制PAM。令相邻星座点在\(I\)、\(Q\)方向上的间距均为\(2A\)，则平均符号功率为

\[ S=\frac{2(M-1)}{3}A^2 \]

方形QAM的判决域由相邻电平的中点划开。角点、边点和内点分别面对两条、三条和四条最近判决边界，所以精确计算符号错误率时必须分开计数。

精确计算时要分别数角点、边界点和内部点；在高信噪比下忽略\(Q^2(\cdot)\)项，可得

\[ P_{s,\mathrm{MQAM}}\approx4\left(1-\frac{1}{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3}{2(M-1)}\frac{S}{N}}\right) \]

进一步写成

\[ P_{s,\mathrm{MQAM}}\approx4\left(1-\frac{1}{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\log_2M}{M-1}\frac{E_b}{n_0}}\right) \]

采用Gray映射时

\[ P_{b,\mathrm{MQAM}}\approx\frac{4}{\log_2M}Q\left(\sqrt{\frac{3\log_2M}{M-1}\frac{E_b}{n_0}}\right) \]

提高调制阶数\(M\)可以让每个符号承载更多比特，但固定平均功率时星座点会变密，误码率上升。高阶调制因此以更高的功率和接收精度换取频谱效率。