Laplace变换
Laplace变换即\(f(t)e^{-\sigma t}\)的傅里叶变换，其中\(f(t)\)为因果信号。
\[
F(s)=\int_{0-}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt=\int_{0-}^\infty f(t)e^{-\sigma t}e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt
\]
Laplace变换存在的条件：原函数 分段连续 且为 指数阶函数 。
指数阶函数
对于给定\(f(t)\)，若存在\(\sigma_0\)满足
\[
\lim_{t\to\infty}f(t)\mathrm e^{-\sigma t}=0\,\quad\forall \sigma>\sigma_0
\]
则称\(f(t)\)为指数阶函数。
Laplace 变换的性质
线性: 若\(\mathscr{L}[f_1(t)]=F_1(s)\),\(\mathscr{L}[f_2(t)]=F_2(s)\)，对常数\(K_1\,,K_2\)有
\[
\mathscr{L}[K_1f_1(t)+K_2f_2(t)]=K_1F_1(s)+K_2F_2(s)
\]
微分、积分性质: \(\mathscr{L}\left[\dfrac{\mathrm df(t)}{\mathrm dt}\right]=sF(s)-f(0-)\)，对高阶有
\[
\displaystyle\mathscr{L}\left[\dfrac{\mathrm d^nf(t)}{\mathrm dt^n}\right]=s^nF(s)-\sum_{r=0}^{n-1}s^{n-r-1}f^{(r)}(0-)
\]
\[
\mathscr{L}\left[\int_{-\infty}^tf(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{F(s)}{s}+\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{0-}f(\tau)\mathrm d\tau}{s}
\]
延时 (时域平移) 性质: \(\mathscr{L}[f(t-t_0)u(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s)\,,t_0>0\)
注意有\(u(t-t_0)\),就是只取\(t\ge t_0\)的部分。
频移（s域平移）性质: \(\mathscr{L}[f(t)e^{-at}]=F(s+a)\)
尺度变换性质: \(\mathscr{L}[f(at)]=\dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right)\,,a>0\)。
s域微分、积分性质
\[
\frac{\mathrm{d}F(s)}{\mathrm{d}s}=\mathscr{L}[-tf(t)]
\]
\[
\int_s^\infty F(\xi)\mathrm d\xi=\mathscr{L}{\frac{f(t)}t}
\]
初值定理
\[
\lim_{t\to 0_+}f(t)=f(0_+)=\lim_{s\to \infty}sF(s)
\]
要求\(f(t)\,,f'(t)\)的Laplace变换存在。
终值定理
\[
\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)
\]
终值定理应用条件
- 时域：\(\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)\)存在
- 频域：极点必须在左半平面。
例-锁相环分析
锁相环是通信接收机的重要单元，用于频率恢复和解调。现在想研究\(F(s)\)的特性。
不妨假设鉴相器理想，即
\[
g\left(\theta(t)-\hat{\theta}(t)\right)=K_p\left(\theta(t)-\hat{\theta}(t)\right)
\]
相位估计误差和输入相位的关系为
\[
\Theta_e(s)=\frac{s}{s+K_0K_pF(s)}\Theta(s)
\]
当输入相位为恒定值时，即\(\theta(t)=\Delta\theta u(t)\)时
\[
\Theta_e(s)=\frac{s}{s+K_0K_pF(s)}\cdot\frac{\Delta\theta}{s}=\frac{\Delta\theta}{s+K_0K_pF(s)}
\]
应用终值定理得到
\[
\lim_{t\to\infty}\theta_e(t)=\lim_{s\to 0}\Theta_e(s)=\lim_{s\to 0}\frac{s\Delta\theta}{s+K_0K_pF(s)}=0\,,\forall F(0)\neq 0
\]
因此前向增益\(F(s)\)一定要能通过直流。
卷积定理
\[
\begin{aligned}
\text{时域}:&\mathscr{L}[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(s)F_2(s)\\
\text{频域}:&\mathscr{L}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\boxed{\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}}F_1(s)\ast F_2(s)
\end{aligned}
\]
Laplace 逆变换
Laplace 的一般表达式可以写为
\[
F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{\displaystyle b_m\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\displaystyle a_n\prod_{i=1}^{m}(s-p_i)}
\]
非有理函数怎么办
对于连续非有理函数\(F(s)\),可以用 伯恩斯坦多项式 近似。若\(f(x)\in\mathbb{C}[0,1]\)，则其n阶伯恩斯坦多项式定义为
\[
B_n(x)=\sum_{k=0}^nf\left(\frac{x}{n}\right)C_n^kx^k(1-x)^{n-k}
\]
对于函数\(|x|\)，可以采用 Newman近似 ：
\[
r_n(x)=\frac{x\left(p_n(x)-p_n(-x)\right)}{p_n(x)+p_n(-x)}\,,p_n(x)=\sum_{k=1}^{n-1}(x+a^k)
\]
其中系数\(a=\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)\)，\(n\geq 5\)时有\(||x|-r_n(x)|\leq 3\exp\left(-\sqrt{n}\right)\)
Laplace 逆变换可以采用部分分式分解法和留数定理求解。
部分分式分解法
对于有理函数形式，假设\(n>m\)，即\(F(s)\)为真分式。
\[
\begin{aligned}
F(s)&=\frac{B(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}\\
&=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+\cdots+\frac{K_n}{s-p_n}
\end{aligned}
\]
其中\(\left.K_i=(s-p_i)F(s)\right|_{s=p_i}\)
单根 若\(K_i\in \mathbb{R}\), 则
\[
\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{K_i}{s-p_i}\right]=K_i\exp(p_i t)u(t)
\]
共轭复根 若有一堆共轭复数根\(-\alpha\pm\mathrm{j}\beta\),即
\[
\begin{aligned}
F(s)&=\frac{1}{(s+\alpha-\mathrm j\beta)\cdot(s+\alpha+\mathrm j\beta)}\cdot F_1(s)\\
&=\frac{K_1}{s+\alpha-\mathrm j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+\mathrm j\beta}+\cdots
\end{aligned}
\]
其中
\[
\begin{cases}
K_1=(s+\alpha-\mathrm{j}\beta)F(-\alpha+j\beta)=\frac{F_1(-\alpha+j\beta)}{2\mathrm j\beta}\\
K_2=(s+\alpha+\mathrm{j}\beta)F(-\alpha-j\beta)=\frac{F_1(-\alpha-j\beta)}{-2\mathrm j\beta}\\
\end{cases}
\]
即\(K_2=K_1^\ast\)。令\(K_1=A+\mathrm jB\),则
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}^{-1}&\left[\frac{K_1}{s+\alpha-\mathrm j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+\mathrm j\beta}\right]\\
&=2\exp(-\alpha t)\left(A\cos\beta t-B\sin\beta t\right)u(t)
\end{aligned}
\]
多重根 假设\(F(s)\)有一个\(k\)阶极点\(p_1\)，即
\[
\begin{aligned}
F(s)&=\frac{F_1(s)}{(s-p_1)^k}\\
&=\frac{K_{11}}{(s-p_1)^k}+\frac{K_{12}}{(s-p_1)^{k-1}}+\cdots+\frac{K_{1k}}{s-p_1}+\cdots
\end{aligned}
\]
其中\(K_{11}=(s-p_1)^k F(s)\big{|}_{s=p_1}=F_1(p_1)\)。为了确定\(K_{12}\)，考察\(F_1(s)\)并对其求导数：
\[
\begin{aligned}
F_1(s)&=K_{11}(s)+K_{12}(s-p_1)+\cdots+K_{1k}(s-p_1)^{k-1}+\cdots\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}F_1(s)&=0+K_{12}+\cdots+(k-1)K_{1k}(s-p_1)^{k-2}+\cdots
\end{aligned}
\]
因此\(\displaystyle K_{12}=\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}F_1(s)\big|_{s=p_1}=F_1'(p_1)\). 同理可以得到:
\[
K_{1i}=\left.\frac{1}{(i-1)!}\frac{\mathrm d^{i-1}}{\mathrm d s^{i-1}}F_1(s)\right|_{s=p_1}=\frac{1}{(i-1)!}F_1^{(i-1)}(p_1)
\]
又由于
\[
\mathscr{L}\left[t^n u(t)\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}\Rightarrow\mathscr{L}\left[\frac{t^{n-1}\mathrm e^{p_1t}}{(n-1)!}u(t)\right]=\frac{1}{(s-p_1)^n}
\]
因此
\[
f(t)=\sum_{i=1}^{k}\frac{F_1^{(i-1)}(p_1)}{(i-1)!(k-i)!}t^{k-i}\mathrm{e}^{p_1t}u(t)+\cdots
\]
留数定理法
留数的概念
设函数 \(f(z)\) 在区域 \(0<|z-z_0|<R\) 内解析。选取 \(r\)，使 \(0<r<R\)，并且作圆 \(C:|z-z_0|=r\)。如果 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的孤立奇点，定义函数 \(f(z)\) 在孤立奇点 \(z_0\) 的留数为
\[
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi j}\int_C f(z)dz
\]
设 \(D\) 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线 \(C\)。设函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内除去孤立奇点 \(z_1,z_2,\cdots,z_n\) 外，在每一点都解析，并且它在 \(C\) 上的每一点也解析，那么有
\[
\int_C f(z)dz=2\pi j\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_i)
\]
其中沿 \(C\) 的积分取为关于区域 \(D\) 的正向。
留数的计算公式如下。
对函数 \(f(z)\) 的一阶极点 \(z_0\)，有
\[
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)
\]
对函数 \(f(z)\) 的 \(k(k>1)\) 阶极点 \(z_0\)，则有
\[
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(k-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{k-1}[(z-z_0)^kf(z)]}{dz^{k-1}}
\]
考虑逆变换式和留数的关系：
\[
\begin{aligned}
f(t)&=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds\\
&=\frac{1}{2\pi j}\int_C F(s)e^{st}ds-\frac{1}{2\pi j}\int_{C_R}F(s)e^{st}ds
\end{aligned}
\]
其中 \(C_R\) 是半径为无穷大的圆弧，\(C\) 是 \(C_R\) 和拉氏逆变换积分路径构成的闭合曲线。
根据留数定理有
\[
\frac{1}{2\pi j}\int_C F(s)e^{st}ds=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Res}[F(s)e^{st},z_i]
\]
若满足对 \(C_R\) 上任意 \(s\)，有 \(|F(s)|\le M_R\)，且 \(\lim_{R\to\infty}M_R=0\)，有
\[
\lim_{R\to\infty}\left|\int_{C_R}F(s)e^{st}ds\right|=0
\]
最终得到
\[
f(t)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Res}[F(s)e^{st},z_i]
\]
一阶极点情况：
\[
\begin{aligned}
F(s)&=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_i}{s-p_i}\\
K_i&=(s-p_i)F(s)|_{s=p_i}\\
f(t)&=\sum_{i=1}^{n}K_ie^{p_it}\\
&=\sum_{i=1}^{n}(s-p_i)F(p_i)e^{p_it}
\end{aligned}
\]
用留数法有
\[
\begin{aligned}
f(t)&=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Res}[F(s)e^{st},p_i]\\
&=\sum_{i=1}^{n}\lim_{s\to p_i}(s-p_i)F(s)e^{st}\\
&=\sum_{i=1}^{n}(s-p_i)F(p_i)e^{p_it}
\end{aligned}
\]
高阶极点情况，假设只在 \(p_1\) 处有一个 \(k\) 阶极点：
\[
\begin{aligned}
F(s)&=\frac{F_1(s)}{(s-p_1)^k}\\
f(t)&=\operatorname{Res}[F(s)e^{st},p_1]\\
&=\frac{1}{(k-1)!}\lim_{s\to p_1}\frac{d^{k-1}[(s-p_1)^kF(s)e^{st}]}{ds^{k-1}}\\
&=\frac{1}{(k-1)!}\lim_{s\to p_1}\sum_{i=0}^{k-1}C_{k-1}^{i}F_1^{(i)}(s)(e^{st})^{(k-1-i)}\\
&=\frac{1}{(k-1)!}\lim_{s\to p_1}\sum_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i-1}F_1^{(i-1)}(s)(e^{st})^{(k-i)}\\
&=\sum_{i=1}^{k}\frac{F_1^{(i-1)}(p_1)}{(i-1)!(k-i)!}t^{k-i}e^{p_1t}u(t)
\end{aligned}
\]
S域元件模型与电路分析
把网络中每个元件都用 s 域模型代替，串联、并联和分压分流性质都可利用，从而直接写变换式.s 域模型也称为运算阻抗,用 s 域模型时，交、直流电路的各种性质，如戴维南等效、诺顿等效都可使用。
系统函数
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为“系统函数”(或网络函数)，以 \(H(s)\)表示.
\(E(s)\,,R(s)\)可能是电压或者电流，因而 \(H(s)\) 可能为阻抗、导纳或者比值.如果\(E(s)\)和\(R(s)\)在同一端口，则\(H(s)\)称为策动点函数(Driving point function)；否则称为转移函数或传递函数(Transfer function).
零极点分布与时频特性
拉氏变换建立起时域和频域的对应关系。拉氏变换将不同的电路 (系统) 统一，即不同电路可以完成同样的功能，具有相同的性质。
\(H(s)\)零极点分布与\(h(t)\)波形特征的对应
设\(H(s)\)由\(n\)个子系统\(H_i(s)\)并联而成，每个子系统又唯一一阶极点\(p_i\)，即
\[
H(s)=\sum_{i=1}^{n}H_i(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_i}{s-p_i}
\]
其冲激响应：
\[
h(t)=\mathscr L^{-1}[H(s)]=\sum_{i=1}^n K_i\mathrm e^{p_it}u(t)
\]
一阶极点位置与原函数波形的对应关系
一阶共轭极点位置与原函数波形的对应关系
若\(p_i\)是个二阶极点，即
\[
H_i(s)=\frac{K_i}{(s-p_i)^2}=K_i\frac{1}{s=p_i}\frac{1}{s-p_i}
\]
因此
\[
\begin{aligned}
h_i(t)&=K_i\mathscr L^{-1}\left[\frac{1}{s-p_i}\right]\ast\mathscr L^{-1}\left[\frac{1}{s-p_i}\right]\\
&=K_i\left[\mathrm e^{p_it}u(t)\right]\ast\left[\mathrm e^{p_it}u(t)\right]\\
&=K_iu(t)\int_0^t\mathrm e^{p_i\tau}\mathrm e^{p_i(t-\tau)}\mathrm d\tau\\
&=K_it\mathrm e^{p_it}u(t)
\end{aligned}
\]
二阶极点位置与原函数波形的对应关系
结论
若\(H(s)\)极点位于左半平面，则\(h(t)\)波形为衰减形式；若一阶极点且位于虚轴上，则为等幅 (常量或振荡)；其他情况(位于右半平面或二阶虚轴上) 则为增长形式.
\(H(s)\)极点分布和时域波形形式有明确的对应关系，但 零点分布不会对时域波形发生实质影响 。例子：
\[
\begin{cases}
\mathscr L^{-1}\left[\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\right]=\mathrm e^{-at}\cos\omega t\\
\mathscr L^{-1}\left[\dfrac{s}{(s+a)^2+\omega^2}\right]=\mathrm e^{-at}\left(\cos\omega t-\dfrac{a}{\omega}\sin\omega t\right)
\end{cases}
\]
衰减趋势和振荡频率都不变，只是 幅度和相位有些变化
系统对激励的响应
考虑系统输出的Laplace变换
已知系统函数和激励信号的Laplace变换
\[
H(s)=\frac{\displaystyle \prod^{m}_{j=1}(s-z_j)}{\displaystyle \prod^{n}_{i=1}(s-p_i)}\,,E(s)=\frac{\displaystyle \prod^{u}_{l=1}(s-b_l)}{\displaystyle \prod^{v}_{k=1}(s-a_k)}
\]
其中\(n+v>m+u\). 可见响应\(R(s)\)的极点分别来自系统\(H(s)\)和激励源\(E(s)\)。
\[
R(s)=H(s)E(s)=\sum_{i=1}^n \frac{K_i}{s-p_i} + \sum_{k=1}^v\frac{W_k}{s-a_k}
\]
根据 极点的来源 可以分解为自由响应 (Natural Response) 和强迫响应 (Forced Response)
\[
r(t)=\underbrace{\sum_{i=1}^nK_i\mathrm e^{p_it}}_{\text{自由响应}}+\underbrace{\sum_{k=1}^vW_k\mathrm e^{a_kt}}_{\text{强迫响应}}
\]
- 自由响应的形式只与系统函数\(H(s)\), 即极点\(p_i\)有关
- 强迫响应的形式只与激励信号\(E(s)\), 即极点\(a_k\)有关
- 两部分响应的系数\(K_i\),\(C_k\)与\(H(s)\),\(E(s)\)都有关
- 两部分的极点\(p_i\)和\(a_k\)相同时，自由响应和强迫响应不能完全分开
对于非零起始状态，有
\[
R(s)=\underbrace{\frac{C(s)}{A(s)}}_{\text{零输入响应}}+\underbrace{\frac{B(s)}{A(s)}E(s)}_{\text{零状态响应}}=\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac{L_i}{s-p_i}}_\text{零输入响应}+\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac{K_i}{s-p_i} + \sum_{k=1}^v\frac{W_k}{s-a_k}}_{\text{零状态响应}}
\]
\[
r(t)=\underbrace{\sum_{k=1}^nA_k\mathrm e^{\alpha_k t}}_{\text{自由响应/齐次解}}+\underbrace{r_P(t)}_{\text{强迫响应/特解}}=\underbrace{\sum_{i=1}^nL_i\mathrm e^{p_it}}_{\text{零输入响应}}+\underbrace{\sum_{i=1}^nK_i\mathrm e^{p_it}+\sum_{k=1}^vW_k\mathrm e^{a_kt}}_{\text{零状态响应}}
\]
系统特征方程的行列式\(\Delta\)的根为系统的固有频率。但有时候，有某些因子被消去，如
\[
H(s)=\frac{s+1}{(s+1)\cdot(s+2)}=\frac{1}{s+2}
\]
因此\(H(s)\)的极点属于固有频率，但不一定全（\(H(s)\)并不能表征系统的完全特性）
零极点图的几何解释
利用\(H(s)\)写出\(H(j\omega)\)：
\[
H(s)=K\frac{\prod^m_{j=1}(s-z_j)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)}\Rightarrow H(\mathrm j\omega)=K\frac{\prod_{j=1}^m\mathrm j\omega-z_j}{\prod_{i=1}^n\mathrm j\omega-p_i}
\]
则\(\displaystyle\begin{matrix}(\mathrm j\omega-z_j)\\(\mathrm j\omega-p_i)\end{matrix}\)表示从\(\displaystyle\begin{matrix}z_j\\p_i\end{matrix}\)到虚轴某点的矢量，以\(\displaystyle\begin{matrix}N_j\mathrm e^{\mathrm j\psi_j}\\M_i\mathrm e^{\mathrm j\theta_i}\end{matrix}\)表示。
该代换要求收敛域包括虚轴，（对单边 LT）极点在左半平面。于是
\[
H(\mathrm j\omega)=K\frac{N_1\cdots N_m}{M_1\cdots M_n}\mathrm e^{\mathrm j(\psi_1+\cdots+\psi_m-\theta_1-\cdots-\theta_n)}=\left|H(\mathrm j\omega)\right|\mathrm e^{\mathrm{j}\varphi(\omega)}
\]
因此
\[
\begin{cases}
\left|H(\mathrm j\omega)\right|=\frac{N_1\cdots N_m}{M_1\cdots M_n}\\
\varphi(\omega)=\psi_1+\cdots+\psi_m-\theta_1-\cdots-\theta_n
\end{cases}
\]
当\(\omega\)沿虚轴移动时，各复数因子的模和辐角随之改变，从
而绘出频响曲线,由零、极点分布可判断出频响特性 (表明特征、区分类型).
全通函数与最小相移函数的零、极点分布
全通函数：若\(H(s)\)的极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零点与极点关于虚轴对称，则为全通函数。全通函数的幅频特性为水平线，\(|H(\mathrm j\omega)|=K\), 相频特性为单调减。
全通函数不影响信号的幅频特性，只会改变相频特性。在传输系统中，常常用于相位校正,如相位均衡器或移相器。
最小相移系统：零点仅位于左半平面或虚轴的系统函数称为最小相移函数，该系统称为最小相移系统。如果某系统函数在右半平面有一个或多个零点，则称为非最小相移函数。
非最小相移函数可表示为最小相移函数与全通函数的级联。
特性
- 相同幅频响应下，相位延迟最小；对应于通信系统的低时延，实时处理关键
- 因果系统的幅频响应和相频响应相互确定，互为希尔伯特变换，可简化设计
- 系统和逆系统均稳定
应用
- 群延迟最小，信号失真小，应用于宽带通信
- 冲激响应的能量集中前端，响应速度快，应用于机器人和实时控制
- 结合全通函数，分解灵活，系统设计自由度高
系统稳定性
稳定性是系统自身的性质，是否稳定与激励源无关。根据研究问题的类型和角度，稳定性的定义有多种形式，涉及内容相当丰富。
BIBO稳定性 如果某系统对每一个有界输入必然产生有界输出，则称该系统为 BIBO(Bounded Input Bounded Output) 稳定系统。这是针对系统的外部稳定性定义，是在零状态给出的条件。
BIBO稳定的充要条件是:
\[
\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt<M
\]
在s域，可以根据极点位置判断。
- 极点全在左平面为稳定系统
- 右半平面有极点或虚轴有高阶极点为不稳定系统
- 虚轴上有一阶极点为临界稳定系统（不满足 BIBO 稳定）
利用\(\displaystyle \lim_{s\to\infty}H(s)\)，假设\(H(s)\)分子、分母阶数为\(m\,,n\),则稳定性要求\(m\geq n+1\)(必要非充分条件)
| \(H(s)\) |
\(h(t)\) |
\(m\) 和 \(n\) |
稳定性和功能 |
| \(s\) |
\(\delta'(t)\) |
\(m=n+1\) |
临界稳定，一阶极点在虚轴无穷远，微分 |
| \(1\) |
\(\delta(t)\) |
\(m=n\) |
稳定，无极点，直通 |
| \(\dfrac{1}{s}\) |
\(u(t)\) |
\(m<n\) |
临界稳定，极点在虚轴上，积分（严格意义） |
| \(\dfrac{1}{s+a}\) |
\(e^{-at}u(t)\) |
\(m<n\) |
稳定，极点在左半平面，低通，积分 |
| \(\dfrac{1}{s^2}\) |
\(tu(t)\) |
\(m<n\) |
不稳定，二阶极点在虚轴上，积分 |
| \(\dfrac{1}{(s+a)^2}\) |
\(te^{-at}u(t)\) |
\(m<n\) |
稳定，极点在左半平面，低通，积分 |
双边Laplace变换
\[
\mathcal L_B [f(t)]=F_B(s)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-st}\mathrm dt
\]
\[
\mathcal L^{-1} [F_B(s)]=f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm j}\int_{\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty}F_B(s)\mathrm e^{st}\mathrm dt
\]
双边拉氏变换的性质与单边相同，但没有初值定理。所以双边变换适合计算非因果信号的响应，单边变换适合计算因果信号激励有起始状态的系统的响应。