DFT 的应用
用 FFT 完成长序列滤波
长度为 \(L\) 的数据与长度为 \(M\) 的 FIR 滤波器直接卷积，需要约 \(LM\) 次乘法。把两者补零到
后，可用一次 FFT、一次逐点相乘和一次 IFFT 得到同样的线性卷积。对实数据粗略计数，FFT 方法的运算量约为
整体信号流安排得当时，前向 FFT 的位倒序输出可直接接后续逐点乘法和相应次序的 IFFT，数据重排可相互抵消。
小规模时直接卷积更省，序列或滤波器较长后 FFT 才占优。几个对比数据如下：
| \(L\) | \(M\) | FFT 长度 \(N\) | 直接卷积 | FFT 卷积 |
|---|---|---|---|---|
| 80 | 33 | 128 | 2640 | 4096 |
| 180 | 49 | 256 | 8820 | 9216 |
| 450 | 61 | 512 | 27450 | 20480 |
| 850 | 149 | 1024 | 126650 | 45056 |
FFT 长度还影响缓存、存储和等待整块数据的延迟，不能只按乘法次数选择。
对于无限长或很长的数据流，整段补零并不现实。重叠相加法把输入分成互不重叠的 \(L\) 点块，每块与滤波器分别补零到 \(N\geq L+M-1\)，做循环卷积后，相邻输出块在 \(M-1\) 点重叠区相加。设第 \(r\) 块为 \(x_r[n]\)，则
重叠保留法则每次取 \(N\) 点输入，相邻块重叠 \(M-1\) 点。每块做 \(N\) 点循环卷积后，前 \(M-1\) 点受到上一周期折叠污染，直接丢弃；余下 \(N-M+1\) 点就是连续的有效线性卷积输出。第一块缺少的历史样本补零。重叠相加法在输出端处理重叠，重叠保留法在输入端保留重叠，两者本质上都在控制循环卷积的时域混叠。
用 DFT 观察连续信号频谱
实际频谱分析链路通常包含模拟抗混叠滤波、采样与量化、截取有限记录、加窗、补零、FFT，以及把归一化频率换回物理频率。典型应用包括语音合成与识别、雷达定位、机械故障诊断和地质勘探。DTMF 电话按键把一个行频率与一个列频率叠加：行频为 \(697,770,852,941\,\mathrm{Hz}\)，列频为 \(1209,1336,1477,1633\,\mathrm{Hz}\)，同时检出一行一列即可确定按键。简单语音识别也可比较 “yes” 与 “no” 的功率谱特征，但仅凭全局谱无法描述发音的时间顺序。
若有限记录写成
补零到 \(N\) 点后，DFT 采样对应的模拟角频率为
在无混叠且采用理想冲激采样的条件下，主值频带内还有幅度关系
对 \(k>N/2\) 的频点，应按负频率 \(k-N\) 解释。只画单边幅度谱时，除直流和 Nyquist 点外，正频率幅度通常还要合并负频率一侧，具体缩放取决于所用 DFT 归一化。
例如 \(f_s=10\,\mathrm{kHz}\)、\(N=1000\) 时，\(X[57]\) 和 \(X[943]\) 都对应 \(\pm570\,\mathrm{Hz}\)；即便两点幅度同为 432，有限记录和非栅格频率仍可能使峰值位置、峰高偏离真实正弦参数。
有限记录等于时域乘窗，所以频域是原谱与窗频谱的周期卷积。矩形窗
的频响为
主瓣两侧第一零点在 \(\pm2\pi/M\)，零点间宽度为 \(4\pi/M\)。有限窗把理想线谱展宽为窗频谱形状，旁瓣又把强分量泄漏到远处，称为频谱泄漏。信号频率未落在 DFT 栅格上时，最大谱线可能落在两个频点之间，造成栅栏效应和幅度偏低；补零把频点间隔从 \(2\pi/M\) 降为 \(2\pi/N\)，最大频率读数误差约降到 \(\pi/N\)，但主瓣宽度仍由 \(M\) 决定，因此不会提高真正的分辨能力。
对长度 \(N\) 的单频余弦，若 \(\omega_0=2\pi k_0/N\)，DFT 只有 \(k_0\) 与 \(N-k_0\) 两条谱线：
非栅格频率时则为两个移位 Dirichlet 核之和：
这说明“能量扩散到全部 DFT 点”完全来自有限窗与采样栅格，并不是信号真的产生了新频率。
常用窗的典型零点间主瓣宽度和最高旁瓣为：
| 窗 | 主瓣宽度 | 最高旁瓣 |
|---|---|---|
| 矩形窗 | \(4\pi/M\) | \(-13\,\mathrm{dB}\) |
| Bartlett 窗 | \(8\pi/M\) | \(-25\,\mathrm{dB}\) |
| Hann 窗 | \(8\pi/M\) | \(-31\,\mathrm{dB}\) |
| Hamming 窗 | \(8\pi/M\) | \(-41\,\mathrm{dB}\) |
| Blackman 窗 | \(12\pi/M\) | \(-57\,\mathrm{dB}\) |
主瓣窄有利于分开相邻谱线，旁瓣低有利于从强分量旁边看见弱分量，两者不能同时任意改善。实际所需记录长度常按
估算，再按窗的主瓣宽度和安全余量加长。
若最高分析频率为 \(500\,\mathrm{kHz}\)，按 \(1\,\mathrm{MHz}\) 采样并要求约 \(0.5\,\mathrm{kHz}\) 分辨率，需要 \(M=2000\)，即观察 \(2\,\mathrm{ms}\)。另一个补零例中，\(f_s=1\,\mathrm{Hz}\)、实际数据只有 400 点，补到 512 或 2048 点后真实分辨率仍为 \(1/400\,\mathrm{Hz}\)，但直接取最大点的频率误差分别可降到 \(0.5/512\,\mathrm{Hz}\) 和 \(0.5/2048\,\mathrm{Hz}\)。
雷达示例的采样率为 \(0.25\,\mathrm{MHz}\)，记录 \(4\,\mathrm{ms}\)，所以 \(M=1000\)。三个多普勒分量位于 \(20\)、\(20.47\) 和 \(21.33\,\mathrm{kHz}\)，第三个比主分量低 \(23\,\mathrm{dB}\)。矩形窗主瓣较窄，前两个分量更容易分开，但高旁瓣可能埋住第三个弱分量；Hamming 窗显著压低旁瓣，在约第 85 个频点、即 \(21.25\,\mathrm{kHz}\) 附近能显出弱目标，却可能因主瓣变宽而合并前两个近邻分量。窗的选择取决于“近邻分辨”和“大动态范围检出”哪一个更重要。
DFT 滤波器组与短时傅里叶变换
把加窗 DFT 展开为
若连续信号表示为
对其截取 \(M\) 点并补到 \(N\) 点，定义
则
因此每个 DFT 样本都等价于一个以 \(\Omega_k=2\pi k/(NT_s)\) 为中心、响应形状由窗决定的带通分析滤波器输出，而不只是对一条曲线的读数。若数据窗长为 \(M\)、DFT 长度为 \(N\)，滤波器中心间隔为
而矩形窗分析滤波器的主瓣宽度约为
通常 \(M\leq N\)，相邻通道必有一定重叠。增大 \(N\) 只是加密通道中心；增大 \(M\) 才真正缩窄每个分析滤波器。
这也是经典周期图方法的固有限制。若需要突破短记录的主瓣分辨率，可利用 AR 参数模型或子空间法等现代谱估计，但它们引入了额外模型假设。
非平稳信号不能只用一张全局频谱描述。连续形式的短时傅里叶变换为
离散实现通常写成
\(R\) 是相邻帧的步长。\(|X[m,k]|\) 或其对数值随时间、频率排列后得到谱图。
分段正弦示例在 \(0\)–\(300\,\mathrm{ms}\)、\(300\)–\(600\,\mathrm{ms}\)、\(600\)–\(800\,\mathrm{ms}\)、\(800\)–\(1000\,\mathrm{ms}\) 依次为 75、50、25、10 Hz。窗长从 256 增到 512、1024、2048 时，频率线逐渐变细，但切换时刻越来越模糊。两个极端也很直观：\(w(t)=1\) 时 STFT 退化为全局 FT；\(w(t)=\delta(t)\) 时只剩 \(x(t')e^{-j\Omega t'}\)，时间位置精确，却没有局部频率分辨率。
课件中的离散 chirp 例为
在开始、中间和结束位置各取 128 点局部 FFT，便能看到瞬时频率逐段升高。
短窗定位时间变化更准，但分析滤波器主瓣较宽；长窗频率分辨率更高，却把时刻变化平均在较长区间内。两者受时频不确定关系限制：
音乐分析的例子中，采样率为 \(8\,\mathrm{kHz}\)。从 C 到 B 的一组音高约为 262、277、294、311、330、349、370、392、415、440、466、494 Hz，相邻最小间隔只有约 \(15\,\mathrm{Hz}\)。长度 256 的 Hamming 窗频率尺度约为 \(62.5\,\mathrm{Hz}\)，长度 1024 时约为 \(15.6\,\mathrm{Hz}\)；前者能更清楚地看到音符起止，后者更容易分辨音高。课件以 Jimi Hendrix 的《Hey Joe》片段作例，相应地采用约 200 点或 1000 点重叠，使帧间变化保持连续。ScoreCloud 与 Music Piano Roll Spectrograph 一类工具，本质上也在时频分析结果上继续做音高与节拍估计；前者的参考页署名为 Royal College of Music Stockholm 的 Dr. Sven Ahlback。