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多采样率信号处理

抽取与内插

多采样率系统在处理过程中改变采样率，用于融合不同采样源、放松模拟抗混叠与重构滤波器、实现高效滤波器组，以及用过采样和噪声成型提高 A/D、D/A 的有效精度。基本操作包括整数倍降采样、整数倍升采样和 \(L/M\) 有理倍转换。虽然也能先还原模拟信号再按新频率采样，直接在数字域完成通常更准确、高效。

\(M\) 倍抽取保留每 \(M\) 个样本中的一个：

\[ y[n]=x[Mn] \]

在抽取前把保留位置表示为冲激串相乘：

\[ x'[n]=x[n]\sum_m\delta[n-Mm]=\frac1M\sum_{k=0}^{M-1}x[n]e^{j2\pi kn/M} \]

因此输出频谱为

\[ Y(e^{j\omega})=\frac1M\sum_{k=0}^{M-1}X\!\left(e^{j(\omega-2\pi k)/M}\right) \]

相同关系在 Z 域写为

\[ Y(z)=\frac1M\sum_{k=0}^{M-1}X\!\left(e^{-j2\pi k/M}z^{1/M}\right) \]

\(z^{1/M}\) 的各分支正好对应这 \(M\) 个谱副本。

原谱沿频率轴扩展 \(M\) 倍，\(M\) 个移位副本在一个 \(2\pi\) 周期内叠加，幅度乘 \(1/M\)。若原谱不限制在 \(|\omega|\leq\pi/M\)，副本相交而产生不可逆混叠；抽取前需用截止约为 \(\pi/M\) 的低通滤波器。

抽取前后的频谱复制与混叠

抽取是线性的，但一般不是时不变的：输入移一位后被保留的样本集合改变，输出不等于简单移位；只有与 \(M\) 对齐的移位才有特殊等价关系。

\(L\) 倍内插先在相邻输入样本之间插入 \(L-1\) 个零：

\[ x_L[n]=\begin{cases}x[n/L],&n=Lk\\0,&\text{其他} \end{cases} \]

其频谱为

\[ X_L(e^{j\omega})=X(e^{jL\omega}) \]

原谱压缩 \(L\) 倍，并在 \([-\pi,\pi]\) 内出现 \(L\) 个镜像。随后使用增益为 \(L\)、截止为 \(\pi/L\) 的低通插值滤波器抑制镜像：

\[ X_i(z)=H(z)X(z^L) \]
\[ x_i[n]=\sum_kh[n-kL]x[k] \]

简单线性插值满足

\[ y[Lk]=x[k] \]
\[ y[Lk+m]=\frac{L-m}{L}x[k]+\frac mLx[k+1],\qquad 1\leq m<L \]

等效冲激响应是非因果对称三角序列

\[ h_{\mathrm{lin}}[m]=\begin{cases}1-|m|/L,&|m|<L\\0,&\text{其他} \end{cases} \]

频响近似为 \(\operatorname{sinc}^2\)，在 \(2\pi/L\) 的整数倍处有零点，但镜像抑制远不如近似理想低通，不适合高精度转换。

过采样 D/A 与有理倍转换

传统 CD 播放链路把 \(44.1\,\mathrm{kHz}\) 数据直接送入 D/A 和零阶保持，再用模拟低通重构。对双边带宽约 \(40\,\mathrm{kHz}\) 的音频，模拟滤波器需在 \(20\) 到 \(22.05\,\mathrm{kHz}\) 的极窄过渡带内快速衰减，在约 \(24\,\mathrm{kHz}\) 外达到 \(80\,\mathrm{dB}\) 抑制，还要补偿零阶保持的 sinc 下垂、保持低群延迟并控制成本，实现困难。

先作 4 倍数字内插到 \(176.4\,\mathrm{kHz}\)，用数字低通去除镜像，再 D/A，可把零阶保持主瓣拓宽 4 倍。模拟滤波器的过渡范围约可放宽为 \(44.1\,\mathrm{kHz}\) 到 \(176.4\,\mathrm{kHz}\)，不再承担陡峭选择和明显的通带反 sinc 补偿，硬件要求大幅降低。

\(L/M\) 有理倍转换应先升采样 \(L\) 倍，再滤波，最后降采样 \(M\) 倍。内插和抗混叠低通可合并为

\[ H(e^{j\omega})=\begin{cases}L,&|\omega|\leq\min(\pi/L,\pi/M)\\0,&\text{其他} \end{cases} \]

抽取、内插与有理倍采样率转换框图

升、降采样都是线性时变操作，不能任意交换。以 \(3/2\) 转换且输入谱铺满 \([-\pi,\pi]\) 为例，先 \(\uparrow3\)、滤到 \(\pi/3\)、再 \(\downarrow2\)，最终谱可到 \(2\pi/3\)；若先 \(\downarrow2\)，为防混叠必须先滤到 \(\pi/2\)，随后再升采样，最终只到 \(\pi/3\)，两条链路丢失的信息不同。

交换恒等式、多级与多相实现

延迟与变采样满足

\[ z^{-M}\longrightarrow\downarrow M\quad\equiv\quad\downarrow M\longrightarrow z^{-1} \]
\[ \uparrow L\longrightarrow z^{-L}\quad\equiv\quad z^{-1}\longrightarrow\uparrow L \]

由此得到 Noble 恒等式：

\[ H(z^M)\longrightarrow\downarrow M\quad\equiv\quad\downarrow M\longrightarrow H(z) \]
\[ H(z)\longrightarrow\uparrow L\quad\equiv\quad\uparrow L\longrightarrow H(z^L) \]

它们把昂贵滤波搬到低采样率一侧。

抽取与内插的 Noble 恒等式

若总抽取率分解为

\[ M=M_1M_2\cdots M_K \]

多级结构 \(G_1\to\downarrow M_1\to G_2\to\cdots\to G_K\to\downarrow M_K\) 的等效滤波器为

\[ H(z)=G_1(z)G_2(z^{M_1})G_3(z^{M_1M_2})\cdots G_K(z^{M_1\cdots M_{K-1}}) \]

因后级在低速下运行，每一级的相对过渡带通常也更宽。把 \(8\,\mathrm{kHz}\) 降为 \(800\,\mathrm{Hz}\) 的例子中，单级按 \(\omega_p=0.9\pi/10\)、\(\omega_s=\pi/10\)、\(\delta_p=0.004\)、\(\delta_s=0.002\) 设计 Kaiser FIR，需要约 641 阶；分为 \(5\times2\) 后，第二级自身过渡为 \(0.9\pi/2\) 到 \(\pi/2\)，第一级可放宽为 \(0.9\pi/10\) 到 \(3\pi/10\)，总计算量明显下降。

任意序列可按模 \(M\) 的下标分成 \(M\) 个相位。定义

\[ e_m[n]=x[nM+m],\qquad 0\leq m<M \]

则

\[ X(z)=\sum_{m=0}^{M-1}z^{-m}E_m(z^M) \]

滤波器同样可分解为

\[ H(z)=\sum_{m=0}^{M-1}z^{-m}H_m(z^M) \]

课件相应页面把分解因子一处写成 \(L\)、框图和前后文写成 \(M\)，这里统一按实际抽取因子 \(M\)。

在抽取器中，先把 \(H\) 分成 \(M\) 个相位，再用 Noble 恒等式把每个子滤波器移到抽取后，便得到低速率多相结构。若原 FIR 长度为 \(N\)、输入速率为 \(R\)，直接滤波约需 \(NR\) 次乘法每秒；多相结构有 \(M\) 个约 \(N/M\) 长的子滤波器，每个以 \(R/M\) 的速率处理，总量约为

\[ \frac{NR}{M} \]

直接抽取器与多相抽取器

整数倍内插也可按同样方式在低速侧计算各个相位，只生成实际需要的非零输出，而不对插入的零作无用乘法。

过采样量化与噪声成型

设模拟信号带宽只占过采样后 Nyquist 带宽的 \(1/M\)。量化后先用截止 \(\pi/M\) 的数字低通，再抽取 \(M\) 倍。对宽平稳信号，采样和无混叠降采样只重新标定 PSD 的频率和幅度，不改变其面积，因而信号功率保持不变。

连续宽平稳过程采样后有

\[ \phi_{xx}[m]=\phi_{x_ax_a}(mT_s),\qquad \operatorname E\{|x[n]|^2\}=\operatorname E\{|x_a(t)|^2\} \]

无混叠抽取前后的功率也可由 PSD 面积直接比较：

\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Phi_{yy}(e^{j\omega})\,\mathrm d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Phi_{xx}(e^{j\omega})\,\mathrm d\omega \]

白量化噪声的 PSD 在 \([-\pi,\pi]\) 为常数 \(\sigma_e^2\)。低通只保留其中 \(1/M\) 的频带，所以输出噪声功率为

\[ \sigma_{e,\mathrm{out}}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi/M}^{\pi/M}\sigma_e^2\,\mathrm d\omega=\frac{\sigma_e^2}{M}=\frac1{12M}\left(\frac{X_m}{2^B}\right)^2 \]

信号功率不变而噪声降为 \(1/M\)，SNR 提高 \(10\log_{10}M\,\mathrm{dB}\)。过采样率每增加 4 倍约等效增加 1 位；仅靠过采样把 16 位量化器降为 12 位，需要 \(M=4^4=256\)，代价很高。

过采样与一阶噪声成型的量化噪声谱

一阶 \(\Delta\)–\(\Sigma\) 结构用累加器、量化器和一拍反馈构成。在线性化模型中，信号传函和量化噪声传函分别为

\[ H_{xy}(z)=1,\qquad H_{ey}(z)=1-z^{-1} \]

信号全通，量化噪声则被高通整形：

\[ \Phi_{\widehat e\widehat e}(e^{j\omega})=\sigma_e^2|1-e^{-j\omega}|^2=4\sigma_e^2\sin^2\frac\omega2 \]

低频信号带中的噪声被推向高频，再由抽取前低通滤除。降采样后的带内噪声谱写成

\[ \Phi_{e_de_d}(e^{j\omega})=\frac{4\sigma_e^2}{M}\sin^2\frac{\omega}{2M} \]

课件原式在 \(|H_{ey}|\) 外漏了平方，但右侧 \(4\sin^2(\omega/2)\) 与标准推导都表明应为模平方。相对于 \(M=1\)，简单过采样与一阶噪声成型的等效位数提升为：

\(M\) 4 8 16 32 64
简单过采样 1 1.5 2 2.5 3
一阶噪声成型 2.2 3.7 5.1 6.6 8.1

噪声成型依赖反馈量化器的非线性稳定性，线性白噪声模型只解释其基本频谱机制。

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