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0 前言

0.1 什么是vector：向量，矢量，std::vector

不同的专业的学生（数学系的，计算机系的，和物理系的）对向量有三种不同理解：

  1. 代数理解：定义了加法、数乘的“玩意”
  2. 应用理解：有序的一串数据
  3. 几何理解：空间中的有向线段

这三种解释是对同一事物的不同看法，做题采用三种不同理解有时会有不同的收获。比如对于我们常见的

\[ \mathbf {Ax}=\mathbf b \]

这一形式，三位学生分别会理解成：

  1. 代数理解：向量\(\mathbf x\)在线性映射\(f(\mathbf x)=\mathbf{Ax}\)作用下的像为\(\mathbf b\)

  2. 应用理解：变元\(x_1,x_2,x_3\cdots x_n\)满足方程组

$$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2\ \vdots\quad\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m\ \end{cases} $$

  1. 几何理解：某组线性变换（下半学期会学到，可以处理成旋转——伸缩——旋转的三部曲等等）将点\(\mathbf x\)变换到点\(\mathbf b\)

而事实上，这三种理解对于解决这个问题而言是等价的，这也就提供了不同的解决方案：找逆映射（求\(\mathbf A^{-1}\))作用于\(\mathbf b\)上，解多元线性方程组，以及找到线性变换的容易handle的分解方法（比如相似对角化等等）。

0.2 线性系统：如如不动之美

{51C6042F-D0C2-4695-B22C-07D570E94FEB}

关于线性系统，重点理解何为“叠加定理”。

线性系统是指，这个系统的输入与输出符合叠加原理，即如下两条性质：输入放大或缩小某一倍数，则产生的输出也放大或缩小相同的倍数，称为齐次性，两组输入产生的输出是两者分别产生的独立输出之和，称为可加性。

Example

线性电路中，有若干源（电流源，电压源）视为输入，将各回路电流作为输出，则可视为线性系统。

{309E2A10-EAFD-4D50-A764-6A1B0DBD786D}

所谓叠加性，在此例中体现为：对于总输入（电路问题中也称为激励）\(\mathbf x = [V_1\quad V_2\quad V_3]^T\) ,总输出（电路问题中也称为响应）\(\mathbf y=[I_{l1}\quad I_{l2}\quad I_{l3}]^T\)总等于输入的各个分量单独作用产生的输出(称为分响应)之和。

{0DD1C298-AA2C-4882-AC80-12AE26140783}

因此倘若求出了三个单位输入（\([1\quad 0\quad 0]^T\)，\([0\quad 1\quad 0]^T\)，\([0\quad 0\quad 1]^T\)对应的响应\(\mathbf {\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}\)，也就是后面表示矩阵部分讲到的标准正交基对应的函数值）就可以对任意的\(\mathbf x = [V_1\quad V_2\quad V_3]^T\)求得总响应为：

\[ \mathbf y=\begin{bmatrix} I_{l1}\\ I_{l2}\\ I_{l3}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf \alpha_1&\mathbf \alpha_2 & \mathbf \alpha_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_{1}\\ V_{2}\\ V_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_{1}\\ V_{2}\\ V_3 \end{bmatrix}= A \mathbf x \]
\[ \mathbf y = A\mathbf x \]

为了和《线性代数》对齐，此处的记号和电子学通用的记号稍有不同。下个学期的《电子电路与系统基础》中会详细介绍利用线性代数工具分析电路的各种技巧。这里仅仅作为一个引子，说明线性代数在工科的广泛应用和解释“线性系统”的意义。

通过这个例子可以理解：线性系统就是“每个输入的输出可以单独拎出来”的系统。对于我们工科学生而言，《线性代数》的一大重点就在于线性变换的理解。

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