离散时间傅里叶变换
三种视角与变换对
DTFT 可以同时看作函数的正交展开、频率合成与分解，以及连续频谱在采样后的周期复制。变换对为
\[
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}
\]
\[
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\,\mathrm d\omega
\]
在 \(L_2[0,2\pi)\) 中，\(e^{-j\omega n}\) 是关于 \(\omega\) 的可数完备正交基，\(x[n]\) 是 \(X(e^{j\omega})\) 的展开系数；在 \(\ell_2\) 的广义意义下，\(e^{j\omega n}\) 又是关于 \(n\) 的连续频率基，\(X(e^{j\omega})\) 是 \(x[n]\) 在该基上的系数。核心恒等式为
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j(\omega-\omega_0)n}
=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0+2\pi k)
\]
它可由傅里叶级数、Poisson 求和公式或单位周期冲激串的傅里叶变换得到。
从物理上看，\(X(e^{j\omega_0})\) 表示频率分量 \(e^{j\omega_0n}\) 在序列中的复权重。LTI 系统只改变已有频率分量的幅度和相位：
\[
Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})
\]
若 \(x[n]\) 来自连续信号采样，DTFT 就是连续频谱经周期复制、尺度变换后的结果。全 \(1\) 序列的 DTFT 也可据此理解为 \(2\pi\) 周期冲激串。
收敛性与典型变换
绝对可和
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty
\]
是 DTFT 有限且一致收敛的充分条件。因此稳定 LTI 系统具有有限连续的频率响应，FIR 系统必稳定且频率响应连续。平方可和但不绝对可和时，令
\[
X_M(e^{j\omega})=\sum_{n=-M}^{M}x[n]e^{-j\omega n}
\]
则 DTFT 可按均方意义收敛：
\[
\lim_{M\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\left|X(e^{j\omega})-X_M(e^{j\omega})\right|^2\,\mathrm d\omega=0
\]
截断误差能量趋于零不意味着每一点的绝对误差都趋于零。
理想低通频率响应
\[
X(e^{j\omega})=
\begin{cases}
1,&|\omega|\le\omega_c\\
0,&\omega_c<|\omega|\le\pi
\end{cases}
\]
对应
\[
x[n]=
\begin{cases}
\dfrac{\omega_c}{\pi},&n=0\\[4pt]
\dfrac{\sin(\omega_cn)}{\pi n},&n\ne0
\end{cases}
\]
该序列无限长、非因果、平方可和但不绝对可和。有限截断在跳变附近产生 Gibbs 现象；阶数增大时振荡区域收窄，但峰值误差仍约为跳变量的 \(9\%\)。
右边指数序列与矩形窗的常用变换为
\[
a^nu[n]\quad\overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad\frac{1}{1-ae^{-j\omega}},\qquad |a|<1
\]
其幅度为
\[
\left|X(e^{j\omega})\right|=\frac{1}{\sqrt{1-2a\cos\omega+a^2}}
\]
例如 \(a=0.5\) 时峰值在 \(\omega=0\)，\(a=-0.5\) 时峰值移到 \(\omega=\pm\pi\)。
\[
R_N[n]\quad\overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad
e^{-j\omega(N-1)/2}\frac{\sin(N\omega/2)}{\sin(\omega/2)}
\]
矩形窗频谱的第一对零点位于 \(\omega=\pm2\pi/N\)，主瓣零点间宽度为 \(4\pi/N\)；归一化后它也是 \(N\) 点滑动平均滤波器的频率响应。
滑动平均不仅用于降噪，金融时间序列中也常用 50 日和 200 日均线概括短、长期趋势；它们的频率响应正是不同长度的归一化矩形窗。
DTFT 的性质
设 \(x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})\)、\(y[n]\leftrightarrow Y(e^{j\omega})\)，则：
| 时域操作 |
频域结果 |
| \(ax[n]+by[n]\) |
\(aX(e^{j\omega})+bY(e^{j\omega})\) |
| \(x[n-n_0]\) |
\(e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})\) |
| \(x[-n]\) |
\(X(e^{-j\omega})\) |
| \(e^{j\omega_0n}x[n]\) |
\(X(e^{j(\omega-\omega_0)})\) |
| \(x[n]\cos(\omega_0n)\) |
\(\frac12[X(e^{j(\omega-\omega_0)})+X(e^{j(\omega+\omega_0)})]\) |
| \(nx[n]\) |
\(j\dfrac{\mathrm dX(e^{j\omega})}{\mathrm d\omega}\) |
| \(x[n]*y[n]\) |
\(X(e^{j\omega})Y(e^{j\omega})\) |
| \(x[n]y[n]\) |
\(\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\theta})Y(e^{j(\omega-\theta)})\,\mathrm d\theta\) |
频域卷积是 \(2\pi\) 周期卷积，积分区间可取任意长度为 \(2\pi\) 的区间。相关序列
\[
r_{xy}[m]=\sum_n x[n+m]y^*[n]
\]
满足
\[
r_{xy}[m]\quad\overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad X(e^{j\omega})Y^*(e^{j\omega})
\]
自相关对应功率谱密度，即 Wiener-Khinchin 关系。Parseval 等式为
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^*[n]
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})Y^*(e^{j\omega})\,\mathrm d\omega
\]
特别地，两边分别给出信号能量的时域与频域表示。
抽取的频谱关系也可由 DTFT 直接得到。取 \(y[n]=x[2n]\)，把偶数样本筛出后有
\[
Y(e^{j\omega})=\frac12\left[X(e^{j\omega/2})+X\left(e^{j(\omega/2+\pi)}\right)\right]
\]
右端两份压缩频谱相加，已经显出抽取混叠的来源。
对称性与周期序列
一般复序列可按实部、虚部和共轭对称、共轭反对称分量拆分。主要对应关系为：
- 实序列的 DTFT 共轭对称，\(X(e^{-j\omega})=X^*(e^{j\omega})\)；幅度为偶函数，连续相位为奇函数。
- 纯虚序列的 DTFT 共轭反对称。
- 实偶序列具有实偶频谱；实奇序列具有纯虚奇频谱。
- 时域实偶、实奇、虚偶、虚奇四个分量分别映射为频域实偶、纯虚奇、纯虚偶、实奇分量。
几个特殊周期序列的 DTFT 为
\[
1\quad\overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k)
\]
\[
e^{j\omega_0n}\quad\overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad
2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)
\]
\[
\cos(\omega_0n+\phi)\quad\overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[e^{j\phi}\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)+e^{-j\phi}\delta(\omega+\omega_0-2\pi k)\right]
\]
\[
p_N[n]=\sum_{r=-\infty}^{\infty}\delta[n-rN]
\quad\overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad
\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{N}\right)
\]
若 \(\widetilde x[n]\) 是长度 \(N\) 的一周期主值，周期延拓可写为
\[
x[n]=\widetilde x[n]*p_N[n]
=\sum_{r=-\infty}^{\infty}\widetilde x[n-rN]
\]
于是周期离散信号的 DTFT 是线谱：
\[
X(e^{j\omega})=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}
\widetilde X[k]\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{N}\right)
\]
其中 \(\widetilde X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde x[n]e^{-j2\pi kn/N}\)。时域离散导致频域周期，时域周期导致频域离散；与冲激串卷积产生周期延拓，与冲激串相乘产生采样。连续非周期信号具有非周期连续谱，离散非周期信号具有周期连续谱，离散周期信号则具有离散且周期的频谱。