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Laplace变换与Fourier变换的应用

无失真传输

失真 包括线性失真和非线性失真。线性失真包括幅度失真和香味失真。

全通函数的幅度没有失真，只有相位发生失真。

线性系统的无失真传输条件：要求响应和激励的形状相同，幅度可以变化，延时可以增加。

\[ r(t)=K\cdot e(t-t_0)\,,R(\mathrm j\omega)=K\cdot E(\mathrm j\omega)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t_0}=H(\mathrm j\omega)E(\mathrm j\omega) \]

从而一定有\(H(\mathrm j\omega)=K\cdot\mathrm e^{-\mathrm j\omega t_0}\), 即

\[ \begin{cases} \left|H(\mathrm j\omega)\right|=K\\ \varphi(\omega)=-\omega t_0 \end{cases}\,, h(t)=\delta(t-t_0) \]

群时延

定义为 $$ \tau(\omega)=-\frac{\mathrm d\varphi(\omega)}{\mathrm d\omega} $$

意义：

  • 若幅频响应和群时延都是常数，则系统无失真，且有延时\(\tau\)
  • \(\tau(\omega)\)易测量，\(\varphi(\omega)\)不易测量，故实际设备指标都用\(\tau(\omega)\)

利用失真形成特定波形

模拟法：设计一个系统让他频率响应\(H(\mathrm j\omega)=R(\mathrm j\omega)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t_0}\)并输入\(e(t)=\delta(t)\)

数字法：使用移位寄存器配合加法器、低通滤波器实现

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理想低通滤波器

理想低通滤波器：\(H(\mathrm j\omega)={H(\mathrm j\omega)\mathrm e^{\mathrm j\varphi(\omega)}}\)

其中

\[ |H(\mathrm j\omega)|=\begin{cases} 1,|\omega|<\omega_c;\\ 0,\text{elsewhere} \end{cases}\,,\varphi(\omega)=-\omega{t_0} \]

这系统可以无失真地传输\([-\omega_c,\omega_c]\)之间的信号。

\[ \mathscr F^{-1}\left[H(\mathrm j\omega)\right]=\frac{\omega_c}{\pi}\mathrm{Sa}[\omega_c(t-t_0)] \]

因此理想低通滤波器是非因果系统（信号到来之前就有响应出现），因此不可实现。

系统可实现性、佩里维纳准则

可实现系统要求因果性，因此无法实现理想低通滤波器等非因果系统。可以通过增大阶数（引入更多元件）改善系统性能。

频域角度，可实现性要求 幅度函数 \(|H(j\omega)|\)满足平方可积，即

\[ \int_{-\infty}^\infty|H(j\omega)|^2\mathrm d\omega<\infty \]

因此根据Parsevel定理，系统 单位脉冲响应 \(h(t)\)也是平方可积的，即

\[ \int_{-\infty}^\infty|h(t)|^2\mathrm dt<\infty \]

佩里维纳准则

对于系统的频率响应\(H(j\omega)\)，如果不满足以下条件，则系统是不可实现的：

\[ \int_{-\infty}^\infty\frac{\left|\ln|H(j\omega)|\right|}{1+\omega^2}\mathrm d\omega<\infty \]
  1. \(|H(j\omega)|\)不能在连续区间上为零，否则\(\ln|H(j\omega)|\)在该区间上为负无穷，导致积分发散。
  2. \(\omega\to\infty\)时，\(|H(j\omega)|\to 0\)的衰减速度受限。如高斯函数的频率响应为\(H(j\omega)=e^{-\omega^2}\)，则\(\ln|H(j\omega)|=-\omega^2\)，导致积分发散，因此不可实现。

注意

  1. 佩里维纳准则是系统可实现性的必要条件，但不是充分条件。
  2. 佩里维纳准则只约束幅度，不约束相位
  3. 只有 多项式类型 的函数和 双曲函数 的频率响应满足佩里维纳准则。

希尔伯特变换

佩里维纳准则约束了幅频响应，对于相位（即实虚部的相互约束），需要采用希尔伯特变换。对于因果系统

\[ h(t)=h(t)u(t)=h(t)\mathrm{sgn}(t) \]

由于稳定性，其傅立叶变换存在

\[ H(j\omega)=\mathscr{F}\{h(t)\}=\int_{-\infty}^\infty h(t)e^{-j\omega t}\mathrm dt=R(\omega)+\mathrm jX(\omega) \]

根据卷积定理

\[ H(j\omega)=\frac{1}{2\pi}H(j\omega)\ast \mathscr{F}\{\mathrm{sgn}(t)\} \]

因此

\[ \begin{aligned} R(\omega)&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{X(\omega')}{\omega-\omega'}\mathrm d\omega'\\ X(\omega)&=-\dfrac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{R(\omega')}{\omega-\omega'}\mathrm d\omega' \end{aligned} \]

即实部是虚部的希尔伯特变换，虚部是实部的希尔伯特逆变换。

希尔伯特变换定义为：

\[ \hat f(t)=\mathscr{H}\{f(t)\}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(\tau)}{t-\tau}\mathrm d\tau=\boxed{f(t)\ast\frac{1}{\pi t}} \]

逆变换

\[ f(t)=\mathscr{H}^{-1}\{\hat f(t)\}=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{\hat f(\tau)}{t-\tau}\mathrm d\tau=\boxed{\hat f(t)\ast\left(-\frac{1}{\pi t}\right)} \]

Note

可逆性可以由

\[ \frac{1}{\pi t}\ast\left(-\frac{1}{\pi t}\right)=\delta(t) \]

验证。频域上，由于

\[ \mathscr{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\}=-j\mathrm{sgn}(\omega)\,,\mathscr{F}\left\{-\frac{1}{\pi t}\right\}=j\mathrm{sgn}(\omega) \]

得到

\[ \mathscr{F}\{\frac{1}{\pi t}\ast\left(-\frac{1}{\pi t}\right)\}=\mathscr{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\}\cdot\mathscr{F}\left\{-\frac{1}{\pi t}\right\}=-j\mathrm{sgn}(\omega)\cdot j\mathrm{sgn}(\omega)=1 \]

调制解调

调制解调器 (Modem，猫) 指用电话线传送计算机数据的设备。现代无线系统需要调制解调的原因：

  1. 大气对音频衰减严重，为传输更远将音频调到更高频带
  2. 天线尺寸与信号波长成正比(至少十分之一)，为降低成本和 体积提高工作频段
  3. 多路复用：利用同一介质传输多个信号，例如分割电台
  4. 由于零点漂移问题，直流放大器难以实现

抑制载波调幅（SC-AM）

调制过程：通过乘以载波信号\(\cos(\omega_c t)\)将基带信号调制到高频上

\[ F(\omega)=\frac{1}{2}\left[G(\omega-\omega_c)+G(\omega+\omega_c)\right] \]

解调过程：乘以载波信号\(\cos(\omega_c t)\)，把信号搬回原来的位置，然后低通滤波拿到基带信号。

\[ \begin{aligned} g_0(t)&=f(t)\cos(\omega_c t)\\ G_0(\omega)&=\frac{1}{4}\left[G(\omega-2\omega_c)+G(\omega+2\omega_c)\right]+\boxed{\frac{1}{2}G(\omega)} \end{aligned} \]

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调幅（AM）

由于SC- AM不发送载波，因此需要本地载波，实现复杂。

调制过程：AM在发的时候加一个直流，即发送

\[ f(t)=A[1+kg(t)]\cos(\omega_c t) \]

其中\(k=1/A\)为调制深度。AM 的包络体现调制信号，SC-AM 波形不体现。

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解调过程：直接包络检波解调，省去本地载波。

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意义：用更大载波功率换简单接收机。

SC-AM AM
时域 \(f(t)=g(t)\cos(\omega_0 t)\) \(f(t)=[A+g(t)]\cos(\omega_0 t)\)
波形特点 包络不是 \(g(t)\) 包络是 \(g(t)\)
频域 \(G(\omega \pm \omega_0)\) ，不含 \(\delta(\omega)\)，无载波成分 \(G(\omega \pm \omega_0)\) ，\(\delta(\omega \pm \omega_0)\)，保留载波
解调 同步解调：
乘以 \(\cos(\omega_0 t)\) 后低通滤波		 包络检波：不需要载波
特点 优点：节省发射功率
缺点：接收机复杂		 缺点：浪费发射功率
优点：接收机简单
典型应用 卫星通信 广播收音机

单边带（SSB）

为了节省频带，只发半个边带，不影响恢复，多用于短波通信、跳频电台等。

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优点：节省频带和发射功率

缺点：陡峭滤波器难以设计，所以适用于信号中无直流成分且缺少一段低频成分，此时对边带滤波器的要求放宽

残留边带（VSB）

为了降低滤波器设计难度，保留部分边带，常用于电视广播。

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为了保证能恢复，需要边带滤波器在\(\omega_c\)左右斜对称，即频率特性有

\[ H(\omega_c+\Delta\omega)+H(\omega_c-\Delta\omega)=const. \]

VSB 是 DSB 和 SSB 的折衷，频带节省了不到一半，但是 滤波器容易实现。实例：电视图像信号

调频（FM）和调相（PM）

调制过程：

  • 调相是以调制信号控制载波的相位
\[ f(t)=A\cos[\omega_c t+g(t)] \]
  • 调频是以调制信号控制载波的频率
\[ f(t)=A\cos\left[\omega_c t+\int_{-\infty}^t g(\tau)\mathrm d\tau\right] \]

用\(g(t)\)调频即用\(\displaystyle{\int_{-\infty}^t g(\tau)\mathrm d\tau}\)调相，用\(g(t)\)调相即用\(\displaystyle{\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g(t)}\)调频。

解调过程：以解调频为例，首先求导

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(t)=-A\sin\left[\omega_c t+\int_{-\infty}^t g(\tau)\mathrm d\tau\right]\cdot\left[\omega_c+\boxed{g(t)}\right] \]

得到一个可变频率的AM信号，经过包络检波器即可得到调制信号。 也可用鉴频器或鉴相器直接提取出频率或相位变化。

优点

  1. 和 AM 相比，已调信号幅度保持不变，保证发射机工作在峰值功率状态
  2. 信道中的加性噪声和衰落引发的幅度变化将直接加在 AM的调制信号上，但对 PM 和 FM 信号，能在很大程度上被接收机消除

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复用

频分复用（FDM）：将不同信号调制到不同载波上，利用频带分割实现多路复用。

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解复用：通过带通滤波器提取出对应频段的信号，然后解调得到原始信号。

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