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晶体结构

晶体内的原子(或分子)排列是严格有序的，最基本的特征是周期结构。

研究晶体时的假设：固体表面、原子振动和缺陷对于固体性质影响很小，可以忽略

晶格的几何描述

  • 格点：基元
  • 格点排布的几何图形：晶格/点阵
  • 周期性重复单元：晶胞
  • 可完全平移覆盖点阵的最小单元:原胞

原胞中只包含一个格点！！

重要晶体结构

简单立方

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体心立方

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面心立方

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六角密排

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简单晶格：所有院子完全等价，每个格点代表一个原子

复式晶格：原子之间不等价，每个格点对应多个原子，每一种等价原子形成一个简单晶格，不同等价原子形成的简单晶格是相同的。

Note

同一种原子构成的晶体，也可以是复式晶体(如金刚石)

惯用晶胞

单胞是点阵中产生完全评议覆盖并能提现旋转对称性的常用单元。原胞的选取是不唯一的，只要是最小周期性单元都可以，但实际上各种晶体结构已有习惯的原胞选取方式。

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体心立方的原胞和基矢：

\[ \begin{cases} \vec{\alpha}_1&=\dfrac{a}{2}\left(-\vec i+\vec j+\vec k\right)\\ \vec{\alpha}_2&=\dfrac{a}{2}\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)\\ \vec{\alpha}_3&=\dfrac{a}{2}\left(\vec i+\vec j-\vec k\right)\\ \end{cases} \]

面心立方的原胞和基矢

\[ \begin{cases} \vec{\alpha}_1&=\dfrac{a}{2}\left(\vec j+\vec k\right)\\ \vec{\alpha}_2&=\dfrac{a}{2}\left(\vec i+\vec k\right)\\ \vec{\alpha}_3&=\dfrac{a}{2}\left(\vec i+\vec j\right)\\ \end{cases} \]

晶向

微观上晶格中基元（原子或原子团）分列在一系列直线系上，这些直线都相互平行1组平行直线称为1个晶列。

晶列的方向称为晶向，不同的晶列有不同的晶向。

从一个格点沿晶向到最近邻格点的位移矢量

\[ l_1\vec{a}_1+l_2\vec{a}_2+l_3\vec{a}_3 \]

则晶向用\([l_1\,l_2\,l_3]\)表示，注意用的方括号。对于负数，使用指数上加横杠的方式，如\([\bar{1}\,0\,0]\)

等效晶向

由于对称的晶向在性质上没有区别，因此用同一个符号表示对称的几个，称为等效晶向。例如立方晶格中

  • 立方边，统称\(\left<1\,0\,0\right>\)
  • 对角线，统称\(\left<1\,1\,1\right>\)
  • 面对角线，统称\(\left<1\,1\,0\right>\)

晶面

格子可以看作分列在平行等距的平面系上，这些平行的平面系称为晶面系（族）。

晶面的特点：

  1. 晶面族一经划定，所有的格点全部包含在晶面族中无遗漏。
  2. 一族晶面平行且两两等距，这是晶格周期性的必然结果。
  3. 同一个格子可以有无穷多方向不同的晶面系

晶面的Miller指数

以惯用晶胞为参照系分析一组晶面。所有格点都在晶面系上，所以必有一晶面通过原点，其它晶面既然相互等距，将均匀切割各坐标轴。

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惯用晶胞的基矢\(a_1\,,a_2\,,a_3\)必定是晶面在该方向上截距的整数倍。第一个离开原点的晶面与单胞基矢轴的截距，必定是单胞基矢长的\(1/h\) (\(h\)为整数)

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\((h_1\,h_2\,h_3)\)称为Miller 指数。上图中分别为

\[ \color{blue}{(1\,0\,1)}\quad\color{red}{(2\,0\,1)}\quad\color{yellow}{(3\,0\,1)} \]

在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以\(\{h\,k\,l\}\)表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和.

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Warning

晶向用方括号,等效晶向用尖括号,晶面用圆括号,晶面族用大括号。

布拉菲点阵中格点的讨论

格点不一定只对应一个原子。没有实际晶体的原子排布具有简单立方晶格的结构。

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CsCl晶体对应的布拉菲格子是简单立方而不是体心立方

四面体结构

  • 金刚石晶格：中心原子在密堆4个原子构成的4面体（球）的中心上。
  • 闪锌矿晶格：B原子在密堆4个原子构成的4面体（球）的中心上。

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密堆描述

把原子看成是刚性的小球（原子球），原子球的规则堆积构成了晶体堆积

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堆积比（致密度）：原子体积占总体积的百分数。

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若以一个惯用晶胞来计算，就是晶胞中原子体积与晶胞体积之比，即

\[ k=\frac{nv}{V}\,,v=\frac{4\pi r^3}{3}\text{为单个原子体积} \]

对称素与点群

晶体的宏观对称性来源于点阵的对称性。布拉菲点阵按对三维点阵对称性进行分类，包括七个晶系，十四种点阵。点阵对称性是由一系列晶格对称变换来体现。

对称变换是某一正交变换(距离不变的变换)后整个点阵保持不变。对称变换可以由一个或多个基本对称变换组合而成。对称素即对称操作，由对称素组成的对称操作群称为点群。点阵的基本对称变换只有3种：平移、旋转、镜反射。

晶格的根本特性造成有限的平移对称性；同时旋转对称性也是有限的。

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从而

\[ \theta=\frac{2\pi}{n}\in\{0^\circ\,,60^\circ\,,90^\circ\,,120^\circ\,,180^\circ\} \]

其中\(n=1\,,2\,,3\,,4\,,6\)对应\(C_1\,,C_2\,,C_3\,,C_4\,,C_6\)对称素。由于对称素有限，且组合时受到的严格限制，只能组成32个不相同的点群。

晶系 对称性特征 晶胞参数 所属点群 Bravais格子
三斜 只有 \(C_1\) 或 \(C_i\) \(a\ne b\ne c\)
\(\alpha\ne\beta\ne\gamma\)		 \(C_1\), \(C_i\) 简单三斜
单斜 唯一 \(C_2\) 或 \(C_s\) \(a\ne b\ne c\)
\(\alpha=\gamma=90^\circ\ne\beta\)		 \(C_2\), \(C_s\), \(C_{2h}\) 简单 / 底心 三斜
正交 三个 \(C_2\) 或 \(C_s\) \(a\ne b\ne c\)
\(\alpha=\beta=\gamma=90^\circ\)		 \(D_2\), \(C_{2v}\), \(D_{2h}\) 简单 / 底心 / 体心 / 面心 正交
三方 唯一 \(C_3\) 或 \(S_6\) \(a=b=c\)
\(\alpha=\beta=\gamma\ne90^\circ\)		 \(C_3\), \(S_6\), \(D_3\), \(C_{3v}\), \(D_{3d}\) 三角
四方 唯一 \(C_4\) 或 \(S_4\) \(a=b\ne c\)
\(\alpha=\beta=\gamma=90^\circ\)		 \(C_4\), \(S_4\), \(C_{4h}\), \(D_4\), \(C_{4v}\), \(D_{2d}\), \(D_{4h}\) 简单 / 体心 四方
六方 唯一 \(C_6\) 或 \(S_3\) \(a=b\ne c\)
\(\alpha=\beta=90^\circ,\ \gamma=120^\circ\)		 \(C_6\), \(C_{3h}\), \(C_{6h}\), \(D_6\), \(C_{6v}\), \(D_{3h}\), \(D_{6h}\) 六角
立方 四个 \(C_3\) \(a=b=c\)
\(\alpha=\beta=\gamma=90^\circ\)		 \(T\), \(T_h\), \(T_d\), \(O\), \(O_h\) 简单 / 体心 / 面心 立方

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