离散 Hilbert 变换
因果实序列的实部—虚部约束
实因果序列可由偶部和 \(x[0]\) 完全恢复：
\[
x[n]=2x_e[n]u[n]-x_e[0]\delta[n]
\]
也可由奇部和单独给出的 \(x[0]\) 恢复：
\[
x[n]=2x_o[n]u[n]+x[0]\delta[n]
\]
单位阶跃的 DTFT 需按广义函数理解：
\[
U(e^{j\omega})=\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}
\]
离开奇点时，
\[
\frac{1}{1-e^{-j\omega}}=\frac12-\frac j2\cot\frac\omega2
\]
设稳定实因果序列的 DTFT 为
\[
X(e^{j\omega})=X_R(e^{j\omega})+jX_I(e^{j\omega})
\]
则实部和虚部组成离散 Hilbert 变换对：
\[
X_I(e^{j\omega})=-\frac{1}{2\pi}\operatorname{PV}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\cot\!\left(\frac{\omega-\theta}{2}\right)\,\mathrm d\theta
\]
\[
X_R(e^{j\omega})=x[0]+\frac{1}{2\pi}\operatorname{PV}\int_{-\pi}^{\pi}X_I(e^{j\theta})\cot\!\left(\frac{\omega-\theta}{2}\right)\,\mathrm d\theta
\]
\(\theta=\omega\) 处的核有奇异点，积分必须取 Cauchy 主值。稳定实因果系统的频率响应因此不能任意指定实部和虚部：实部已知时整个响应唯一，虚部已知时还需给出 \(h[0]\)。
解析信号与理想 Hilbert 变换器
令复序列
\[
z[n]=x[n]+j\widehat x[n]
\]
的频谱在 \(-\pi\leq\omega<0\) 为零。一般复序列 \(z[n]=x_r[n]+jx_i[n]\) 的实、虚部分量在频域满足
\[
X_r(e^{j\omega})=\frac12\left[Z(e^{j\omega})+Z^*(e^{-j\omega})\right]
\]
\[
jX_i(e^{j\omega})=\frac12\left[Z(e^{j\omega})-Z^*(e^{-j\omega})\right]
\]
若 \(Z(e^{j\omega})\) 在负频率为零，则正频率处有
\[
Z(e^{j\omega})=2X_r(e^{j\omega})=2jX_i(e^{j\omega}),\qquad 0<\omega<\pi
\]
由此可得
\[
X_{\widehat x}(e^{j\omega})=H_{\mathcal H}(e^{j\omega})X(e^{j\omega})
\]
其中理想 Hilbert 变换器为
\[
H_{\mathcal H}(e^{j\omega})=\begin{cases}-j,&0<\omega<\pi\\j,&-\pi\leq\omega<0\end{cases}
\]
它保持幅度，对正频率移相 \(-90^\circ\)，对负频率移相 \(+90^\circ\)。冲激响应为
\[
h_{\mathcal H}[n]=\begin{cases}\dfrac{2\sin^2(\pi n/2)}{\pi n},&n\neq0\\0,&n=0\end{cases}
\]
即偶数下标为 0，奇数下标为 \(2/(\pi n)\)。Hilbert 变换定义为
\[
\widehat x[n]=x[n]*h_{\mathcal H}[n]
\]
解析信号频谱满足
\[
Z(e^{j\omega})=\begin{cases}2X(e^{j\omega}),&0<\omega<\pi\\0,&-\pi<\omega<0\end{cases}
\]
直流和 Nyquist 点需按原值单独处理。理想冲激响应无限长、非因果且关于 0 奇对称。把它延迟 \(M/2\) 后加窗，可用 III 或 IV 类线性相位 FIR 逼近：
\[
h[n]=w[n]\frac{2\sin^2[\pi(n-M/2)/2]}{\pi(n-M/2)}
\]
上式在 \(n=M/2\) 处按奇对称中心取 \(h[M/2]=0\)。
通带相位为
\[
\phi(\omega)=-\frac\pi2-\frac M2\omega,\qquad 0<\omega<\pi
\]
\(M=18\) 时为 III 类，群延迟 9，在 \(\omega=0,\pi\) 都有固定零点，实际是带通 Hilbert 变换器；\(M=17\) 时为 IV 类，群延迟 8.5，只在 \(\omega=0\) 有固定零点，可覆盖到高频端。
复包络、正交调制与频谱搬移
实带通信号
\[
s[n]=A[n]\cos\bigl(\omega_cn+\varphi[n]\bigr)
\]
的 Hilbert 变换为
\[
\widehat s[n]=A[n]\sin\bigl(\omega_cn+\varphi[n]\bigr)
\]
解析信号和复包络分别为
\[
z[n]=s[n]+j\widehat s[n]=A[n]e^{j\varphi[n]}e^{j\omega_cn}
\]
\[
x[n]=A[n]e^{j\varphi[n]}
\]
复包络保留幅度和相位信息，却移除了载波；原实信号由
\[
s[n]=\operatorname{Re}\{x[n]e^{j\omega_cn}\}
\]
恢复。
若 \(x[n]=x_r[n]+jx_i[n]\)，同相和正交调制为
\[
s[n]=x_r[n]\cos(\omega_cn)-x_i[n]\sin(\omega_cn)
\]
其中
\[
A[n]=\sqrt{x_r^2[n]+x_i^2[n]},\qquad \varphi[n]=\arctan\frac{x_i[n]}{x_r[n]}
\]
解调时先构造解析信号并下变频：
\[
x[n]=(s[n]+j\widehat s[n])e^{-j\omega_cn}
\]
于是
\[
x_r[n]=s[n]\cos(\omega_cn)+\widehat s[n]\sin(\omega_cn)
\]
\[
x_i[n]=-s[n]\sin(\omega_cn)+\widehat s[n]\cos(\omega_cn)
\]
解析信号只有单边频谱，乘复指数后不会像实余弦调制那样同时产生上下两个镜像，因此频谱搬移不再依赖很窄的镜像选择滤波器。若把中心 \(25\,\mathrm{kHz}\) 的实带通信号移到 \(20\,\mathrm{kHz}\)，按图示目标应作
\[
z'(t)=z(t)e^{-j2\pi5000t},\qquad s'(t)=\operatorname{Re}\{z'(t)\}
\]
原课件此页同时写了“\(0.5\,\mathrm{kHz}\) 余弦”、指数正号和左移到 \(20\,\mathrm{kHz}\)，三者互相不一致；\(25\to20\,\mathrm{kHz}\) 对应的是 \(5\,\mathrm{kHz}\) 负频移。