倒易点阵和布里渊区
晶体结构的观测手段：晶格衍射
固体中原子的周期性排列，必然使波的传播与点阵的对称性有关。
衍射过程的基本模型
忽略具体的散射无力机制，只讨论不同格点处散射波之间的干涉。
以O为原点，A为晶格中任一格点，其位矢为：
\[
\vec{R_l}=l_1\vec{\alpha}_1+l_2\vec{\alpha}_2+l_3\vec{\alpha}_3
\]
其中\(\alpha_i\)为晶格基矢。入射光与散射光的波矢分别为
\[
\vec k_1 = \frac{2\pi}{\lambda}\hat k_1\,,\quad\vec k_2 = \frac{2\pi}{\lambda}\hat k_2
\]
两相邻格点（A和O）的散射光程差为CO+OD，则衍射极大条件：
\[
\vec{R_l}\cdot(\hat k_2-\hat k_1)=n\lambda\Rightarrow\boxed{\vec{R_l}\cdot(\vec k_2-\vec k_1)=2n\pi}
\]
\(n\)为衍射级数，此方程为劳厄衍射方程。
对于晶体的空间周期结构，利用周期性
\[
F(\vec r+\vec R_n)=F(\vec r)\,,\vec{R}_n=n_1\vec{\alpha}_1+n_2\vec{\alpha}_2+n_3\vec{\alpha}_3
\]
作Fourier变换得到
\[
F(\vec{r})=\sum_k A(\vec k)\exp(\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{r})
\]
其中系数
\[
A(\vec k)=\frac{1}{\Omega}\int_\Omega F(\vec r)\exp(-\mathrm i\vec k\cdot \vec r)\mathrm dr
\]
因此
\[
\begin{aligned}
A(\vec k)&=\frac{1}{\Omega}\int_\Omega F(\vec r+\vec R_n)\exp(-\mathrm i\vec k\cdot \vec r)\mathrm dr\\
&\underbrace{=}_{\vec r'=\vec r+\vec R_n}\frac{1}{\Omega}\int_\Omega F(\vec r')\exp(-\mathrm i\vec k\cdot \vec r')\mathrm dr'\exp(\mathrm i\vec k\cdot \vec R_n)\\
&=A(\vec k)\exp(\mathrm i\vec k\cdot \vec R_n)\Rightarrow \boxed{\exp(\mathrm i\vec k\cdot \vec R_n)=1}
\end{aligned}
\]
令满足上述的\(\vec k\)记为\(\vec G_h\)，全部\(\vec G_h\)的集合构成该布拉菲格子的倒格子。\(\vec G_h\)满足
\[
\boxed{\vec{G}_h\cdot \vec{R}_n=2\pi m\,,m\in\mathbb{Z}}
\]
倒格子是波矢\(k\)空间（倒易空间）的格子。正格子中的一族晶面\((h_1\,h_2\,h_3)\)垂直与倒格矢
\[
\vec G_h = h_1\vec b_1+h_2\vec b_2+h_3\vec b_3
\]
如果正格子晶面系的面间距为\(d\)，则\(G_h\)的长度为\(\dfrac{2\pi}d\).在倒格子空间，劳厄衍射方程转化为
\[
\vec{R_l}\cdot(\vec{k}_2-\vec{k}_1)=2n\pi\Rightarrow\boxed{\vec{k}_2-\vec{k}_1=n\vec{G}_h}
\]
晶格的周期性在此体现为
\[
\vec k_2 = \vec k_1 + n\vec G_h
\]
在弹性散射中，认为能量守恒
\[
\left|\vec k_2\right|=\left|\vec k_1\right|
\]
利用几何关系得到
\[
k_1\sin\theta =\frac{n}{2} G_h
\]