复用、多址与双工

点到点传输只关心一对收发机。节点变多以后，还要回答两个问题：多路信息怎样共用一条高容量链路，多个用户怎样接入同一传输媒质。前者是复用，后者是多址。

基本概念

复用（Multiplexing）在同一发送设备内把多路低速信息合成一路高速信息，接收设备再统一分接。它的目的在于填满物理介质尚未利用的传输能力，资源分配通常较固定。

多址（Multiple Access）让地理位置不同的用户共享同一传输媒质。各路信号是在信道中汇合的，资源还可能随用户需求动态变化。复用和多址都会把多路信号合在一起，但发生的位置和解决的问题不同。

双工（Duplex）讨论一对通信双方怎样共享资源来完成双向传输。单工只能单向传输；半双工允许双向传输，但发送和接收不能同时进行，需要切换方向；全双工则由系统自动把资源划成两个单向信道，无需人工切换即可双向通信。

这三类技术都可以抽象成通信资源的正交划分。设第\(i\)路符号为\(a_i\)，它对应的资源基为\(\mathbf x_i\)，合路后的信号向量为

\[ \mathbf x=\sum_{i=1}^N a_i\mathbf x_i \]

理想划分要求各组资源构成单位正交基：

\[ \langle\mathbf x_i,\mathbf x_j\rangle= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\ne j. \end{cases} \]

接收端通过内积就能分离第\(i\)路符号：

\[ \hat a_i=\langle\mathbf x,\mathbf x_i\rangle=a_i \]

频分、时分和码分的差别，本质上只是正交基选在了不同维度。

把通信资源画成“时间—频率”平面后，FD沿频率切成横条，TD沿时间切成竖条；CD中的用户占用同一块时频区域，接收端靠不同的码空间基把它们分开。

固定接入

频分与时分

频分多址（FDMA）把总带宽切成若干互不重叠的子频带，每个用户占用一个载频。各用户可以连续发送，时钟同步要求不高，但频带之间要留保护间隔，滤波器和信道非线性也会影响相邻用户。

时分多址（TDMA）让用户轮流占用同一频带。若一帧分成\(N\)个用户时隙，每个用户在自己的时隙内以较高瞬时速率发送，平均下来仍得到所需业务速率。它可以直接在调制前合并比特流，但要求严格的帧同步、时钟同步和保护时间。

若每个用户的比特率为\(R_b\)，频率方向分成\(n_F\)份、每个频带内再时分\(n_T\)个用户，且\(N=n_Fn_T\)，则每个载频承载的合路速率为

\[ R_{b,\mathrm{sub}}=n_TR_b \]

对滚降系数为\(\alpha\)的\(M\)进制升余弦载波系统，每个子频带所需带宽为

\[ B_{\mathrm{sub}}=\frac{(1+\alpha)n_TR_b}{\log_2M} \]

FDMA与TDMA在理想条件下可以做到相同的总速率和频谱效率，但时延不同。考虑这样一种到达模型：\(N\)个用户的分组同时到达，且所有用户的本轮分组传完后才会有新分组到达。若每个分组有\(b\) bit，合路总速率为\(R_{\mathrm{sum}}\)，FDMA中每个用户的速率为\(R_{\mathrm{sum}}/N\)，所以各用户的时延都是

\[ D_{\mathrm{FD}}=\frac{Nb}{R_{\mathrm{sum}}} \]

TDMA让各用户依次以总速率发送，完成时刻分别为\(b/R_{\mathrm{sum}},2b/R_{\mathrm{sum}},\ldots,Nb/R_{\mathrm{sum}}\)，平均时延为

\[ D_{\mathrm{TD}}=\frac{N+1}{2}\frac{b}{R_{\mathrm{sum}}}=\frac{N+1}{2N}D_{\mathrm{FD}} \]

因此，在这个到达模型下，TDMA的平均时延更小；当\(N\to\infty\)时，它约为FDMA的一半。

码分与扩频

码分多址（CDMA）给不同用户分配不同的扩频码。设周期为\(P\)的双极性码序列为\(x_i\in\{-1,1\}\)，循环自相关为

\[ \rho_x(\tau)=\frac{1}{P}\sum_{i=1}^Px_ix_{i+\tau} \]

两条周期同为\(P\)的码序列\(x_i\)和\(y_i\)的互相关为

\[ \rho_{xy}=\frac{1}{P}\sum_{i=1}^Px_iy_i \]

理想扩频码在同步位置有尖锐自相关，不同用户码之间的互相关接近零；若码序列不同步，原有的正交性就可能被破坏。直接序列扩频（DS-SS）用高速码序列直接扩展信息带宽；跳频（FH）用码序列控制载频不断跳变；跳时（TH）则由码序列选择实际发送信号的时片。扩频把信号能量铺到更宽的频带，解扩后有用信号重新集中，而干扰信号被展宽、功率谱密度降低。它体现了Shannon公式中带宽与信噪比可以交换的关系：

\[ C=B\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right) \]

CDMA抗干扰、抗多径，系统容量较大，也不需要复杂的频率分配；另一方面，它会受到多址干扰和远近效应影响，码序列失去同步时性能也会明显下降。

除频、时、码之外，还可以利用定向天线或阵列把空间划成不同波束，即空分多址（SDMA）；在频谱利用率要求很高时，也可以利用正交极化进行极分。实际系统经常混合使用几种划分方式，例如GSM采用频分与时分相结合的接入方式。

随机接入

固定接入在业务持续、用户数稳定时简单有效，但突发业务不繁忙时会留下大量空闲资源。随机接入不预先为每个用户保留固定资源，而让有数据的用户尝试发送；冲突后再按协议重试。

ALOHA

纯ALOHA的规则很直接：有帧就立即发送，若发生冲突便随机等待后重传。设一帧的发送时间为\(T_f\)，总的发送尝试以平均速率\(\lambda_t\)到达，则一个帧时内的网络负载为

\[ G=\lambda_tT_f \]

发送尝试数服从Poisson分布，\(G\)表示其中不论成功与否的平均尝试数。若每帧有\(b\) bit、物理层信息速率为\(R_b\)，还应满足\(b=R_bT_f\)。一个帧要成功，开始发送前后各一个帧时内都不能有其他帧到达，危险区长度为\(2T_f\)，所以

\[ P_0=\mathrm e^{-2G} \]

单位帧时的吞吐量为

\[ S=GP_0=G\mathrm e^{-2G} \]

对\(G\)求导可知，\(G=1/2\)时达到最大值

\[ S_{\max}=\frac{1}{2\mathrm e}\approx0.184 \]

时隙ALOHA只允许在时隙边界发送，把危险区缩短为一个帧时。于是

\[ P_0=\mathrm e^{-G},\qquad S=G\mathrm e^{-G} \]

其最优负载和最大吞吐量为

\[ G^*=1,\qquad S_{\max}=\frac{1}{\mathrm e}\approx0.368 \]

时隙化把最高利用率提高了一倍，代价是所有站点必须同步。一次尝试到成功所需的次数服从几何分布；在时隙ALOHA中，其均值为\(\mathrm e^G\)。

两条曲线都不是负载越大越好：超过峰值以后，新尝试带来的冲突多于成功帧，吞吐量反而下降。时隙化把危险区减半，峰值便从\((0.5,1/(2\mathrm e))\)提高到\((1,1/\mathrm e)\)。

CSMA与冲突处理

ALOHA发送前不看信道是否空闲。载波监听多路访问（CSMA）先监听再决定发送：

1-坚持CSMA发现空闲就立即发送，信道忙时持续监听。空闲时间少，但多个等待站容易同时发送。
非坚持CSMA发现忙后随机等待，再重新监听。冲突较少，代价是时延和信道空闲时间增加。
\(p\)-坚持CSMA在空闲时隙以概率\(p\)发送，以\(1-p\)的概率推迟到下一时隙，折中利用率与冲突概率。

CSMA/CD在发送过程中继续监听。一旦发现冲突便立即停止，随机退避后重试。最坏情况下，站点要经过两倍端到端传播时延\(2\tau\)才能确认冲突。令

\[ a=\frac{\tau}{T_f} \]

在饱和的多用户竞争模型下，一个竞争时隙长\(2\tau\)。若\(N\)个用户各以概率\(q\)尝试接入，该时隙恰有一个用户发送的概率为

\[ \gamma=Nq(1-q)^{N-1} \]

当\(q=1/N\)时，成功概率最大，并且

\[ \gamma_{\max}=\left(1-\frac{1}{N}\right)^{N-1}\xrightarrow[N\to\infty]{}\mathrm e^{-1} \]

竞争次数\(k\)服从几何分布，因而

\[ \Pr\{K=k\}=\gamma(1-\gamma)^{k-1},\qquad \mathbb E[K]=\frac{1}{\gamma}\xrightarrow[N\to\infty]{}\mathrm e \]

传完一帧的平均耗时包括帧发送时间、传播时间和竞争时隙：

\[ \mathbb E[T]=T_f+\tau\left(1+2\mathbb E[K]\right) \]

所以效率极限为

\[ \eta=\frac{1}{1+a(1+2\mathrm e)}\approx\frac{1}{1+6.44a} \]

传播时延相对帧时越短，CSMA/CD越有效。这个结果是所有用户都参与竞争时的极限；实际效率还与负载\(G\)以及\(p\)-坚持协议的\(p\)有关。它适合能够边发边测冲突的总线式有线网络。

无线站点通常无法可靠地一边发送一边检测冲突，因此采用CSMA/CA：发送前监听，空闲后再随机退避，接收端用ACK确认；没有收到ACK便在等待后重传。它不是检测并终止冲突，而是尽量避开冲突。

随机接入之外，也可以显式管理发送权。令牌环让空令牌在各站之间循环，有数据的站点取得令牌后发送；轮询则由主站依次询问各从站。它们能控制冲突和公平性，但会引入令牌或轮询开销。

多路复用与双工

频分复用（FDM）先把各支路调制到不同频带，再合并整个带宽。各路不必严格同步，但模拟滤波复杂，信道非线性还会产生交调和路际串扰。

时分复用（TDM）把各支路的比特放进不同的时隙。一个完整的周期称为帧，复接器把若干码速为\(f_l\)的低速支路合成码速为\(f_h\)的高速比特流，分接器依靠帧结构和时钟恢复各支路。复接是TDM的关键环节。它便于数字处理，但对同步和时钟抖动较敏感。

全双工可用频率或时间划分实现。FDD给两个方向分配不同频带，TDD则按时隙划分两个单向信道。半双工也能双向通信，但发送和接收不能同时进行，需要切换收发方向。