信号检测理论
匹配滤波器
匹配滤波器的目的：在输入信号形式和噪声统计特性已知时，选择滤波器 \(H(j\omega)\)，使某一抽样时刻 \(t_0\) 的输出信噪比最大。
输入信号：
\[r(t)=s_i(t)+n_i(t)\]
滤波器输出信号频谱：
\[S_o(j\omega)=S_i(j\omega)H(j\omega)\]
输出信号：
\[s_o(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_i(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\]
在 \(t=t_0\) 时刻：
\[s_o(t_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_i(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t_0}d\omega\]
输出信噪比：
\[\gamma=\frac{|s_o(t_0)|^2}{\overline{n_o^2(t)}}\]
结论：匹配滤波器就是使 \(t_0\) 时刻输出信噪比最大的线性滤波器。
白噪声匹配滤波器
条件：输入噪声为高斯白噪声，功率谱密度为
\[\Phi_n(\omega)=\frac{N_0}{2}\]
输出噪声平均功率：
\[\overline{n_o^2(t)}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi_n(\omega)|H(j\omega)|^2d\omega\]
即：
\[\overline{n_o^2(t)}=\frac{N_0}{2}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|H(j\omega)|^2d\omega\]
输入信号能量：
\[E=\int_{-\infty}^{+\infty}s_i^2(t)dt\]
由 Parseval 定理：
\[E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|S_i(j\omega)|^2d\omega\]
利用 Cauchy-Schwartz 不等式可得：
\[\left(\frac{S}{N}\right)_o\le \frac{2E}{N_0}\]
最大输出信噪比：
\[\left(\frac{S}{N}\right)_{o,\max}=\frac{2E}{N_0}\]
等号成立条件：
\[H(j\omega)=kS_i^*(j\omega)e^{-j\omega t_0}\]
其中 \(k\) 为任意非零常数，\(t_0\) 为抽样判决时刻。
因此白噪声下匹配滤波器的频率响应为：
\[H(j\omega)=kS_i^*(j\omega)e^{-j\omega t_0}\]
对应时域冲激响应：
\[h(t)=ks_i^*(t_0-t)\]
若信号为实信号，则：
\[h(t)=ks_i(t_0-t)\]
结论：白噪声下，匹配滤波器的冲激响应是输入信号的时间反转和平移；频率响应是输入信号频谱的复共轭并附加线性相位。
幅频特性：
\[|H(j\omega)|=k|S_i(j\omega)|\]
相频特性：
\[\varphi_H(\omega)=-\varphi_S(\omega)-\omega t_0\]
理解：
- 信号在哪些频率成分强，匹配滤波器就在哪些频率成分响应强。
- 匹配滤波器在 \(t_0\) 时刻把信号能量尽可能集中起来。
- 最大输出信噪比只与信号能量 \(E\) 和白噪声功率谱密度 \(N_0/2\) 有关。
相关器与匹配滤波器关系
白噪声下，相关器与匹配滤波器等效。
匹配滤波器冲激响应：
\[h(t)=ks_i(t_0-t)\]
滤波器输出：
\[y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}r(\tau)h(t-\tau)d\tau\]
代入 \(h(t)\)：
\[y(t)=k\int_{-\infty}^{+\infty}r(\tau)s_i(t_0-t+\tau)d\tau\]
在抽样时刻 \(t=t_0\)：
\[y(t_0)=k\int_{-\infty}^{+\infty}r(\tau)s_i(\tau)d\tau\]
而互相关器输出为：
\[z=\int_{-\infty}^{+\infty}r(t)s_i(t)dt\]
因此：
\[y(t_0)=kz\]
结论：匹配滤波器在 \(t_0\) 时刻的输出，与接收信号和已知信号模板的互相关结果只差一个常数因子。
若输入仅为信号 \(s_i(t)\)，则匹配滤波器输出：
\[y(t)=k\int_{-\infty}^{+\infty}s_i(\tau)s_i(t_0-t+\tau)d\tau\]
这相当于信号的自相关函数。
结论：
- 匹配滤波器输出形式上是相关函数。
- 白噪声情况下，匹配滤波器与互相关器等效。
- 相关器直接计算 \(\int r(t)s_i(t)dt\)。
- 匹配滤波器先滤波，再在 \(t_0\) 时刻抽样。
- 二者本质上都是把接收信号与已知信号模板进行匹配。
色噪声下的匹配滤波器
条件：输入噪声为色噪声，功率谱密度为
\[\Phi_n(\omega)\]
此时噪声在不同频率上的强度不同，不能直接使用白噪声匹配滤波器。
输出噪声平均功率：
\[\overline{n_o^2(t)}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi_n(\omega)|H(j\omega)|^2d\omega\]
输出信号：
\[s_o(t_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_i(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t_0}d\omega\]
输出信噪比：
\[\gamma=\frac{\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_i(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t_0}d\omega\right|^2}{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi_n(\omega)|H(j\omega)|^2d\omega}\]
利用 Cauchy-Schwartz 不等式，可得色噪声下最优匹配滤波器：
\[H(j\omega)=k\frac{S_i^*(j\omega)}{\Phi_n(\omega)}e^{-j\omega t_0}\]
最大输出信噪比：
\[\gamma_{\max}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|S_i(j\omega)|^2}{\Phi_n(\omega)}d\omega\]
结论：色噪声下匹配滤波器不仅要匹配信号频谱，还要抑制噪声强的频率成分。
理解：
- 若某频率处信号强、噪声弱，则滤波器增益应较大。
- 若某频率处信号弱、噪声强，则滤波器增益应较小。
- 因此色噪声下不是简单地匹配 \(S_i^*(j\omega)\)，而是匹配加权后的频谱 \(\dfrac{S_i^*(j\omega)}{\Phi_n(\omega)}\)。
色噪声匹配滤波器的预白化方法：
先设计白化滤波器 \(H_w(j\omega)\)，使色噪声通过后变为白噪声。
要求：
\[|H_w(j\omega)|^2\Phi_n(\omega)=\frac{N_0}{2}\]
白化后信号频谱为：
\[S_w(j\omega)=S_i(j\omega)H_w(j\omega)\]
对白化后的信号使用白噪声匹配滤波器：
\[H_m(j\omega)=kS_w^*(j\omega)e^{-j\omega t_0}\]
总滤波器为：
\[H(j\omega)=H_w(j\omega)H_m(j\omega)\]
即：
\[H(j\omega)=kH_w(j\omega)S_w^*(j\omega)e^{-j\omega t_0}\]
由于：
\[S_w(j\omega)=S_i(j\omega)H_w(j\omega)\]
所以：
\[H(j\omega)=kS_i^*(j\omega)|H_w(j\omega)|^2e^{-j\omega t_0}\]
又因为：
\[|H_w(j\omega)|^2=\frac{N_0/2}{\Phi_n(\omega)}\]
因此：
\[H(j\omega)=k'\frac{S_i^*(j\omega)}{\Phi_n(\omega)}e^{-j\omega t_0}\]
这与色噪声下直接推导得到的最优匹配滤波器一致。
结论：
- 色噪声下可以先预白化，再使用白噪声匹配滤波器。
- 等效结果是：
\[H(j\omega)=k\frac{S_i^*(j\omega)}{\Phi_n(\omega)}e^{-j\omega t_0}\]
信号检测
信号检测的基本问题：在噪声背景下判断信号是否存在，或判断接收信号属于哪一个已知信号。
通常模型为加性高斯白噪声：
\[r(t)=s(t)+n(t)\]
其中噪声功率谱密度为：
\[\Phi_n(\omega)=\frac{N_0}{2}\]
检测最终通常归结为似然比检验：
\[\lambda(r)=\frac{p_1(r)}{p_0(r)}\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\lambda_0\]
一元已知信号检测
问题：判断已知信号 \(s(t)\) 是否存在。
二元假设：
\[H_0:r(t)=n(t),\quad 0\le t\le T\]
\[H_1:r(t)=s(t)+n(t),\quad 0\le t\le T\]
信号能量：
\[E_s=\int_0^T s^2(t)dt\]
似然比：
\[\lambda(r)=\exp\left[\frac{2}{N_0}\int_0^T r(t)s(t)dt-\frac{1}{N_0}\int_0^T s^2(t)dt\right]\]
似然比检验：
\[\frac{2}{N_0}\int_0^T r(t)s(t)dt-\frac{E_s}{N_0}\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\ln\lambda_0\]
等价为相关器形式：
\[G=\int_0^T r(t)s(t)dt\]
判决规则：
\[G\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}v_T\]
门限：
\[v_T=\frac{N_0}{2}\ln\lambda_0+\frac{E_s}{2}\]
统计量分布：
在 \(H_0\) 下：
\[G\sim N\left(0,\frac{N_0E_s}{2}\right)\]
在 \(H_1\) 下：
\[G\sim N\left(E_s,\frac{N_0E_s}{2}\right)\]
虚警概率：
\[P_F=P(G>v_T|H_0)\]
\[P_F=Q\left(\frac{v_T}{\sqrt{N_0E_s/2}}\right)\]
检测概率：
\[P_D=P(G>v_T|H_1)\]
\[P_D=Q\left(\frac{v_T-E_s}{\sqrt{N_0E_s/2}}\right)\]
漏检概率：
\[P_M=1-P_D\]
结论：
- 一元已知信号检测的最佳检测器是相关器。
- 在白噪声下，相关器与匹配滤波器等效。
- 检测统计量是接收信号与已知信号模板的相关积分。
二元已知信号检测
问题：判断接收信号属于两个已知信号中的哪一个。
二元假设：
\[H_0:r(t)=s_0(t)+n(t),\quad 0\le t\le T\]
\[H_1:r(t)=s_1(t)+n(t),\quad 0\le t\le T\]
两个信号能量：
\[E_0=\int_0^T s_0^2(t)dt\]
\[E_1=\int_0^T s_1^2(t)dt\]
似然比：
\[\lambda(r)=\exp\left[\frac{2}{N_0}\int_0^T r(t)(s_1(t)-s_0(t))dt-\frac{1}{N_0}(E_1-E_0)\right]\]
似然比检验：
\[\frac{2}{N_0}\int_0^T r(t)(s_1(t)-s_0(t))dt-\frac{E_1-E_0}{N_0}\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\ln\lambda_0\]
定义检测统计量：
\[G=\int_0^T r(t)(s_1(t)-s_0(t))dt\]
判决规则：
\[G\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}v_T\]
门限：
\[v_T=\frac{N_0}{2}\ln\lambda_0+\frac{E_1-E_0}{2}\]
若两个信号等能量：
\[E_0=E_1=E_s\]
则门限化为：
\[v_T=\frac{N_0}{2}\ln\lambda_0\]
若先验概率相等、代价相同：
\[\lambda_0=1\]
则：
\[v_T=0\]
此时判决规则为：
\[\int_0^T r(t)(s_1(t)-s_0(t))dt\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}0\]
定义互相关系数：
\[\rho=\frac{\int_0^T s_0(t)s_1(t)dt}{E_s}\]
若 \(E_0=E_1=E_s\)，则：
\[\int_0^T [s_1(t)-s_0(t)]^2dt=2E_s(1-\rho)\]
等先验、等代价时，总错误概率：
\[P_e=1-\Phi\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)\]
其中 \(\Phi(\cdot)\) 为标准正态分布函数。
特殊情况：
正交信号：
\[\rho=0\]
\[P_e=1-\Phi\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)\]
反相信号：
\[s_1(t)=-s_0(t)\]
\[\rho=-1\]
\[P_e=1-\Phi\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)\]
结论：
- 二元已知信号检测的最佳统计量是接收信号与差分模板 \(s_1(t)-s_0(t)\) 的相关。
- 两个信号越不相似，即 \(\rho\) 越小，检测性能越好。
- 反相信号 \(s_1(t)=-s_0(t)\) 的检测性能最好。
随机相位信号的相参检测
问题：信号相位随机，但接收端知道相位，或者能够获得相位同步信息。
模型：
\[H_0:r(t)=n(t),\quad 0\le t\le T\]
\[H_1:r(t)=s(t,\theta)+n(t),\quad 0\le t\le T\]
其中：
\[s(t,\theta)=A\sin(\omega_c t+\theta)\]
若相位 \(\theta\) 已知，则 \(s(t,\theta)\) 对接收端来说是已知信号。
信号能量：
\[E_s=\int_0^T s^2(t,\theta)dt\]
相参检测统计量：
\[G_\theta=\int_0^T r(t)s(t,\theta)dt\]
判决规则：
\[G_\theta\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}v_T\]
门限：
\[v_T=\frac{N_0}{2}\ln\lambda_0+\frac{E_s}{2}\]
统计量分布：
在 \(H_0\) 下：
\[G_\theta\sim N\left(0,\frac{N_0E_s}{2}\right)\]
在 \(H_1\) 下：
\[G_\theta\sim N\left(E_s,\frac{N_0E_s}{2}\right)\]
虚警概率：
\[P_F=Q\left(\frac{v_T}{\sqrt{N_0E_s/2}}\right)\]
检测概率：
\[P_D=Q\left(\frac{v_T-E_s}{\sqrt{N_0E_s/2}}\right)\]
漏检概率：
\[P_M=1-P_D\]
结论：
- 相参检测利用了载波相位信息。
- 相位已知时，随机相位信号检测退化为一元已知信号检测。
- 最佳检测器是与 \(s(t,\theta)\) 匹配的相关器或匹配滤波器。
- 相参检测性能优于非相参检测，但要求接收端有相位同步能力。
随机相位信号的非相参检测
问题：信号相位随机，且接收端不知道相位。
模型：
\[H_0:r(t)=n(t),\quad 0\le t\le T\]
\[H_1:r(t)=A\sin(\omega_c t+\theta)+n(t),\quad 0\le t\le T\]
其中 \(\theta\) 未知，常假设在 \([-\pi,\pi]\) 上均匀分布：
\[p(\theta)=\frac{1}{2\pi}\]
非相参检测不能直接使用单个相位模板 \(s(t,\theta)\)，需要把相位作为随机参数积分掉。
边缘似然函数：
\[p_1(r)=\int_{-\pi}^{\pi}p(r|H_1,\theta)p(\theta)d\theta\]
即：
\[p_1(r)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}p(r|H_1,\theta)d\theta\]
似然比：
\[\lambda(r)=\frac{p_1(r)}{p_0(r)}\]
判决规则：
\[\lambda(r)\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\lambda_0\]
实际实现中，通常构造同相、正交两路相关器。
定义两个正交模板：
\[\phi_c(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\cos\omega_c t\]
\[\phi_s(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\sin\omega_c t\]
同相分量：
\[X=\int_0^T r(t)\phi_c(t)dt\]
正交分量：
\[Y=\int_0^T r(t)\phi_s(t)dt\]
包络统计量：
\[R=\sqrt{X^2+Y^2}\]
或等价使用平方包络：
\[R^2=X^2+Y^2\]
非相参判决规则：
\[R\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\gamma\]
等价形式：
\[R^2\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\gamma^2\]
在 \(H_0\) 下，\(X,Y\) 都是零均值高斯变量：
\[X\sim N\left(0,\frac{N_0}{2}\right)\]
\[Y\sim N\left(0,\frac{N_0}{2}\right)\]
因此 \(R\) 服从 Rayleigh 分布，\(R^2\) 服从中心卡方分布。
虚警概率：
\[P_F=P(R>\gamma|H_0)\]
\[P_F=\exp\left(-\frac{\gamma^2}{N_0}\right)\]
门限：
\[\gamma=\sqrt{-N_0\ln P_F}\]
在 \(H_1\) 下，\(R\) 服从 Rice 分布，\(R^2\) 服从非中心卡方分布。
检测概率可写为 Marcum-Q 函数形式：
\[P_D=Q_1\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}},\sqrt{\frac{2\gamma^2}{N_0}}\right)\]
漏检概率：
\[P_M=1-P_D\]
结论：
- 非相参检测不需要知道信号相位。
- 检测统计量不是单一路相关输出，而是同相、正交两路输出的包络。
- 本质上是检测信号在二维正交子空间中的能量。
- 非相参检测实现更容易，但由于没有利用相位信息，性能通常弱于相参检测。