2 基础例题选讲
2.0 行列式计算
具体行列式计算主要方法：
-
对于2、3阶行列式，直接计算即可，套用公式主对角-副对角。
-
对于高阶行列式，直接计算较为困难，常见方法：
-
高斯消元转换为三角阵，进而使用对角乘积计算
-
数学归纳，看看简单的情形好不好算
-
分块三角阵
-
\(0\)比较多的话，可以考虑Laplace展开。
-
加边法。
-
Vandermonde行列式：(用归纳法可证，但记住可简化计算)
$$
D_n(x_1,x_2,\cdots x_n)=\left|
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\
x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\
x_12&x_22&x_32&\cdots&x_n2\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
x_1{n-1}&x_2&x_3{n-1}&\cdots&x_n\
\end{matrix}
\right|\
=\prod_{1\leq j\textcolor{red}\lt i\le n}(x_i-x_j)
$$
抽象行列式的计算方法：
\[
\begin{cases}
|AB|=|A||B|\\
|A^*|=|A|^{n-1},|(A^*)^*|=|A|^{(n-1)^2}
\end{cases}
\]
题1（2022期中，书院） 已知\(A,B\in M_3\),且\(|A|=-3\), \(|B|=2\),计算
\[
\left|
\begin{array}
02A & A\\
O & -B
\end{array}
\right|
\]
题2（2022期中，书院） 若\(A,B\in M_3\), 且\(|A+AB|=0\),计算\(|B+I_3|\).
题3（2018期中） 设\(A,B\in M_n\) 可逆，计算行列式
\[
\left |
\begin{matrix}
I+A^{-1} & A^{-1}B+I+A\\
B^{-1}&B^{-1}A+I
\end{matrix}
\right |
\]
题5（2018期中） 计算行列式
\[
\left|
\begin{matrix}
1+x_1y_1&1+x_1y_2&\cdots&1+x_1y_n\\
1+x_2y_1&1+x_2y_2&\cdots&1+x_2y_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1+x_ny_1&1+x_ny_2&\cdots&1+x_ny_n\\
\end{matrix}
\right|
\]
题6（2023期末） 计算行列式
\[
\left|
\begin{matrix}
2 & 1 & -1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
2 & 2 & 1 & 3 & -2 \\
0 & -1 & 0 & 1 & 0\\
-2 & 0 & 2 & -1 & 1
\end{matrix}
\right|
\]
题7 计算行列式
\[
\left|
\begin{matrix}
1 & -1 & 1 & x-1\\
1 & -1 & x+1 & -1\\
1 & x-1 & 1 & -1\\
x+1 & -1 & 1 & -1\\
\end{matrix}
\right|
\]
题8 计算$\(|2I_4-A|\)$,其中
\[
A=\begin{bmatrix}
-a & -2 & -2 & -2\\
-2 & a & -2 & -2\\
-2 & -2 & -b & -2\\
-2 & -2 & -2 & b\\
\end{bmatrix}
\]
题9 求\(f(x)=0\)的全部根，其中
\[
f(x)=\left|\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 9 & 27\\
1 & -2 & 4 & -8\\
1 & x & x^2 & x^3\\
\end{matrix}\right|
\]
题10 计算行列式
\[
\left|
\begin{matrix}
a_1+x_1&a_2&\cdots&a_n\\
a_1&a_2+x_2&\cdots&a_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_1&a_2&\cdots&a_n+x_n
\end{matrix}
\right|
\]
题11 求多项式\(p(x)\)的最高次数，若
\[
p(x)=\left|
\begin{matrix}
a_{11}+x&a_{12}+x&a_{13}+x&a_{14}+x\\
a_{21}+x&a_{22}+x&a_{23}+x&a_{24}+x\\
a_{31}+x&a_{32}+x&a_{33}+x&a_{34}+x\\
a_{41}+x&a_{42}+x&a_{43}+x&a_{44}+x\\
\end{matrix}
\right|
\]
代数余子式的求法：
\[
k_1A_{i1}+k_2A_{i2}+\cdots+k_nA_{in}=\left|
\begin{matrix}
&&*&&\\
k_1&k_2&\cdots&k_{n-1}&k_n\\
&&*&&\\
\end{matrix}
\right|
\]
-
用矩阵。\(A^*=|A|A^{-1}\).
-
用特征值（还没学）
注意要求余子式还是代数余子式，前者多一个系数\((-1)^{i+j}\)
题12 计算\(5A_{11}+2A_{12}+A_{13}\),其中
\[
A=\begin{bmatrix}
20&13&14\\
1&2&5\\
34&1&34\\
\end{bmatrix}
\]
题13 求\(|A|\)所有元素的代数余子式之和，其中
\[
A=\begin{bmatrix}
0&0&0&5&6\\
0&0&0&7&8\\
1&2&3&0&0\\
0&1&4&0&0\\
0&0&1&0&0\\
\end{bmatrix}
\]
题14 已知
\[
A^*=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
\]
求\(A\).
2.1 矩阵乘法
请完成以下计算题：
题1 计算
\[
(1) \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}=?\\
(2)\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}=?\\
\]
注 本题揭示了：矩阵的乘法并没有交换律。事实上，有的矩阵之间是可交换的，这当且仅当其中一者可用另一者的多项式表出。
题2 计算
\[
(1)\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 6\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
-1 & 2\\
\end{bmatrix}=?\\
(2)\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 6\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 3\\
\end{bmatrix}=?
\]
注 本题揭示了：由\(AB=AC\wedge A\ne O\)不能推出\(B=C\)。这是因为并不是所有矩阵都可逆。
题3 计算
\[
\begin{bmatrix}
1&1&4\\
-2&-2&-8\\
3&3&12
\end{bmatrix}^{514}=?
\]
题4 计算
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
& 1 & 4\\
& & 1
\end{bmatrix}^n
\]
题5 计算
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3\\
1 & -1 & 0\\
-1 & 2 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
\]
题6（2021期中） 计算
\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0\\
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 3\\
-1 & 0 & 4\\
5 & -1 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
题7（2023期中） 已知
\[
\begin{bmatrix}
1 & &\\
2 & 1 & \\
3 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}
& 1 &\\
1&&\\
&&1\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9\\
\end{bmatrix}
\]
求矩阵\(A\)的值。
题8（2023期中） 判断对错：存在二阶实方阵\(A\ne -I_2且A^{2023}=-I_2\)
题9（2022期中，书院） 计算\(A^{2022}\),若
\[
A=\begin{bmatrix}
2&0&1\\
-2&0&-1\\
4&0&2
\end{bmatrix}
\]
2.2 线性方程组求解
题1 已知方程
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 1 & 2\\
2 & 1 & 7 & 4 & 3\\
-1 & 2 & -1 & 3 & a\\
\end{bmatrix}x=0
\]
的基础解系中有三个解向量，求a的值。
题2 求解齐次方程组
\[
\begin{cases}
x_1+x_2+3x_4-x_5 &= 0\\
2x_2 + x_3 + 4x_4 + x_5 &= 0\\
x_1 + 3x_2 + x_3 + 4x_4 + 6x_5 &=0
\end{cases}
\]
题3 已知方程
\[
\begin{cases}
(1+a)x_1+x_2+\cdots+x_n &= 0\\
2x_1 +(2+a)x_2+\cdots+2x_n &= 0\\
\vdots\quad&\\
nx_1+nx_2+\cdots+(n+a)x_n&=0
\end{cases}
\]
问\(a\)何值时，该方程组有非零解？
题4 求解方程组
\[
\begin{cases}
x_1-x_2+2x_3+x_4 &= 1\\
2x_1-x_2+x_3+2x_4&=3\\
x_1-x_3+x_4&=2
\end{cases}
\]
并给出满足\(x_1=-x_2\)的所有解。
题5（2018期中） 已知方程组
\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1\\
2 & 3 & a\\
1 & a & 3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\y\\z\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\\3\\2\end{bmatrix}
\]
- 讨论方程组的解的数目。
- 当方程有无穷解，求其通解。
题6（2022期中） 设\(A\)为三阶方阵，向量\(b=[1\quad 2\quad 3]^T\).
- 设方程\(Ax=0\)的解集为
$$
\{
k_1\begin{bmatrix}
2\-1\0
\end{bmatrix}+
k_2\begin{bmatrix}
0\1\1
\end{bmatrix}|
k_1,k_2\in\mathbb{R}
\}
$$
求A的行简化阶梯型
- 设方程\(Ax=b\)的解集为
$$
\{\begin{bmatrix}
1\0\1
\end{bmatrix}+
k_1\begin{bmatrix}
2\-1\0
\end{bmatrix}+
k_2\begin{bmatrix}
0\1\1
\end{bmatrix}|
k_1,k_2\in\mathbb{R}
\}
$$
求A.
- 设方程\(Ax=b\)的解集为
$$
\{
\begin{bmatrix}
1\0\1
\end{bmatrix}+
k_1\begin{bmatrix}
1\-1\0
\end{bmatrix}|
k_1\in\mathbb{R}
\}
$$
求\(A\)的行简化阶梯型，并写出一个满足条件的\(A\).
题7（2023期中)在如下关于\(x_1,x_2,x_3\)的线性方程组中，讨论\(p\)取不同值时方程组是否有解，并求解。
\[
\begin{cases}
px_2+x_3&= 1\\
x_1+x_2+x_3&=1\\
x_1+x_2+px_3&=p
\end{cases}
\]
2.3 \(LU\)分解
[!IMPORTANT]
注意计算准确性，分解后要进行验算！！！（在座各位很难连错两遍吧）
\(LU\)分解疑似常常和分块矩阵结合考察，不知道为何。
题1（2021期中） 给定矩阵
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 7\\
1 & 1 & 0\\
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]
- 矩阵\(A\)能否\(LU\)分解？若能，求；若否，证。
- 矩阵\(B\)是否可逆？若是，求逆；若否，证明。
题2（2022期中） 设矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}
B & C \\
O & D\\
\end{bmatrix}
\]
其中
\[
B=\begin{bmatrix}
1&2&0\\
1&1&1\\
2&0&-1\\
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0\\
1 & 0 & 2 & 3\\
\end{bmatrix}
\]
- 计算\(B\)的\(LU\)分解。若\(B\)可逆，求其逆。
- 计算\(D\)的\(LU\)分解。若\(D\)可逆，求其逆。
- 计算\(A\)的\(LU\)分解。若\(A\)可逆，求其逆。
题3（2023期中）
- 下面矩阵的\(LU\)分解是否存在？若存在，求；若不存在，证。
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
1 & 0 & 1\
4 & 5 & 6\
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
1 & 1 & 1\
0 & 1 & 2\
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\
2 & 2 & 1\
1 & 1 & 1\
\end{bmatrix}
$$
- 证明如下矩阵存在\(LU\)分解：(无需给出具体分解。）
$$
D=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 & 7 & 8\
1 & 1 & 1 & 11 & 12 & 13\
0 & 1 & 2 & 20 & 23 & 24\
0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1\
0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\
\end{bmatrix}
$$
2.4 四大子空间，向量组与基
题1（2020期中） 判断正误。
- 可以找到一个7阶方阵，其零空间和列空间相同。
- 存在一个\(2\times 5\)实矩阵，使得\([1\quad2\quad3\quad4\quad5]^T\)和\([5\quad4\quad3\quad2\quad1]^T\)构成零空间的一组基。
- 设\(A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R})\), 如果\(A\)与\(A^T\)具有相同的零空间和列空间，则\(A\)是对称矩阵。
题2（2020期中） 考察矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & -200 & -180\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 8 & 0 & 1 & 11\\
\end{bmatrix}
\]
- 求\(A\)的行简化阶梯形。
- 求\(A\)的列空间维数，并取\(A\)的一些列构成其一组基。
- 求\(A\)的行空间维数，并取\(A\)的一些行构成其一组基。
- 求\(A\)的零空间维数，和一组基。
- 在\(A\)的第二列和第三列之间插入一列\(0\)得到矩阵\(B\)，写出\(B\)的行空间的维数和一组基，以及\(B\)的零空间的维数和一组基。
- 在\(A\)的第二行和第三行之间插入一行\(0\)得到矩阵\(C\)，写出\(C\)的列空间的维数和一组基，以及\(C\)的零空间的维数和一组基。
题3（2021期中） 给定线性空间\(\mathbb{R}^3\)的一组基\(\mathbf{v_1,v_2,v_3}\)。当且仅当\(a\)为何值，向量组\(\mathbf v_1+a\mathbf v_2 + 2a\mathbf v_3\), \(\mathbf v_1+2a\mathbf v_2 + \mathbf v_3\),$ \mathbf v_2 + a\mathbf v_3\(, 不是\)\mathbb{R}^3$的一组基？
注 本题引出后面会学到的基变换与过渡矩阵知识。