3 难题选讲

3.1 矩阵可逆相关

如何证明可逆：

1. 证明齐次线性方程组只有平凡解
2. 找到逆乘出来\(I_n\)
3. 行列式（还没学）
4. 二级结论：
5. Schur补
6. 对角占优

题1 已知\(I_m - BA\)可逆，求证\(I_n-AB\)可逆（\(A,B\)尺寸保证两式均有意义）

提示1 泰勒展开\(\frac{1}{1-x} = 1+x + x^2 +\cdots\)

提示2 Schur补

提示3 线性方程组\((I_m-BA)x=0\)有什么性质？

题2（2020期中） 令

期中\(C\)为\(n\)阶对角占优方阵，\(B_1\)为任意给定\(3\times n\)矩阵，\(B_2\) 为任意给定\(n\times 3\) 矩阵.

1. 求\(A\)的\(LU\)分解（\(5'\)）
2. 求证\(A\)可逆，再找一个常数\(\varepsilon_0>0\)(依赖于\(C,B_1,B_2\)), 使得对\(\forall |\varepsilon|\le \epsilon_0\)，\(X_\varepsilon\)可逆。（\(\textcolor{red}{5'}\))

题3（2022期中） 考察方阵\(A\) ,试证：若\(|\mathbf x^TA\mathbf x|<|\mathbf x^T\mathbf x|\) 有解，则\(I-A^2\)可逆。

题4（2019期中） 设\(A，B\in M_n(\mathbb{R})\), 且\(A^k=0\), 其中\(k\)是一个正整数。求证：

1. \(I_n - A\)可逆。
2. 若\(AB+BA = B\), 则\(B=O\).

题5（习题课2，节选） 对称阵和反对称阵。求证下列命题。

1. 若\(A,B\)是\(n\)阶实对称矩阵，则\(A=B\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}^n,x^TAx=x^TBx\)
2. \(\forall A\)为\(n\)阶反对称阵，求证\(I_n-A\)可逆

题6（2022期中，书院） 若\(A,B,A+B\)都是可逆矩阵，证明\(A^{-1}+B^{-1}\)可逆。

3.2 矩阵方程

考虑通过左右乘一些矩阵把方程变得美观。

题1（2022期中，附加题）设\(A,B,C\)分别为\(l\times m,n\times p,l\times p\) 矩阵。求证：

1. 关于\(p\times n\)的矩阵\(W\)的方程\(BWB=B\)总有解。

2. 利用1中结论，证明关于\(m\times n\)矩阵\(X\)的方程\(AXB=C\)有解，当且仅当

$$ rank(A)=rank([A\quad C])且rank(B)=rank(\begin{bmatrix} B\mathbb{C} \end{bmatrix} ). $$

3.3 基和线性空间

证明线性无关性：“起手式”

不妨假设 $$

k_1\mathbf x_1+k_2\mathbf x_2+\cdots+k_m\mathbf x_m =0 $$

则....

题1（2023期中，节选） 设\(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3,\mathbf a_4\)是\(m\times n\)矩阵\(A\)的零空间一组基。又设\(\mathbb{R}^n\)一组基为\(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3,\mathbf a_4, \mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3,\cdots,\mathbf c_{n-4}\)。求证：

线性无关。

题2（2023期中） 设 \(\mathbf {a_1,a_2,a_3},\cdots,\mathbf a_n\)为\(\mathbb{R}^n\)的一组坤。试证：若向量\(\mathbf b\)可以写成\(\mathbf {a_1,a_2,\cdots,a_n}\)中任意\(n-1\)个向量的线性组合，则\(\mathbf b=0\).

题3（2022期中，书院） 设\(A\in M_n\),若\(\exists k\in \N\),使得\(A^{k}\mathbf x=0\)有解向量\(\alpha\),且\(A^{k-1}\alpha\ne 0\),求证：向量组\(\alpha,A\alpha,\cdots A^{k-1}\alpha\)线性无关。

3.4 综合题

题1（2021期中）

题2（习题课）

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