例题讲解与备考建议

之前同学反馈，觉得基础题花了过多时间。因此这次重点挑选了一些较为有难度的综合类问题。至于基础，当然也是十分重要的，比如说\(QR\)分解、特征值的计算、SVD计算等等，是千万要自行多加练习的。

备考的重点包括：

计算。QR分解，相似对角化，SVD等。
正定矩阵的各种等价性质
常用二级结论：Hamilton-Cayley定理
基变换的概念
矩阵范数的概念

题1 计算矩阵A的QR分解，其中

\[ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]

题2 将\(A\)进行奇异值分解，其中

\[ A=\begin{bmatrix} 3&1\\ 1&3\\ 3&1\\ 1&3\\ \end{bmatrix} \]

题3 已知\(3\)阶方阵\(A\)满足

\[ A^2-2A-3I=O\,, \]

给出\(\det(A+2I)\)的全部可能取值。

题4（答疑热点）设\(\beta_1\,,\beta_2\,,\beta_3\in\mathbb R^n\)线性无关,\(\alpha_1\,,\alpha_2\,,\alpha_3\in\mathbb R^n\). 求证存在无穷个\(k\)使得\(\beta_1+k\alpha_1\,,\beta_2+k\alpha_2\,,\beta_3+k\alpha_3\)线性无关。

题5（2023期末）设\(A\)是\(n\)阶正定实对称矩阵,\(x\in\mathbb R^n\). 求证：

\[ 0\le x^T(A+xx^T)^{-1}x<1 \]

题6（2023期末）给定\(n\)阶可逆矩阵\(A\)以及线性方程组\(Ax=b\,,A\tilde x=\tilde b\). 求证：

\[ \frac{||x-\tilde x||}{||x||}\le\frac{\sigma_1}{\sigma_n}\frac{||b-\tilde b||}{||b||} \]

其中\(\sigma_1\,,\sigma_n\)分别为\(A\)的最大和最小奇异值。

题7（北京大学2022期末）设实二次型

\[ f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2ax_2x_3+2ax_3x_1 \]

可用可逆线性变换

\[ x=Cy \]

化成二次型

\[ g(y)=y_1^2+y_2^2+4y_3^2+2y_1y_2 \]

求参数\(a\)的值与矩阵\(C\)

题8 给定实对称正定矩阵\(A\)和实对称矩阵\(B\)，求证：

方程\(AX+XA=O\)只有平凡解\(X=O\)
方程\(AX+XA=B\)存在唯一解\(X_0\)
\(X_0\)对称

题9 设\(A\,,B\)是\(n\)阶方阵，且

\[ A+B+AB=O \]

求证：

\(-1\)不是\(B\)的特征值
\(B\)的任意特征向量都是\(A\)的特征向量
\(A\)的任意特征向量都是\(B\)的特征向量

题10 求证：实反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或者0.

例题讲解与备考建议

评论