离散信号与系统的表示

表示方式与基本序列

信号有三类常用表示：时域表示刻画随时间的变化，可用图形、表达式或数据给出；变换域表示把信号分解为基本元素，通常与时域一一对应；均值、相关函数、功率谱等特征量便于概括性质，但一般不能反推全部样本。时频联合表示适合描述频率随时间变化的信号。离散信号只在整数序号上定义，非整数序号没有默认含义。

常用基本序列为

\[ \delta[n]= \begin{cases} 1,&n=0\\ 0,&n\ne0 \end{cases},\qquad u[n]= \begin{cases} 1,&n\ge0\\ 0,&n<0 \end{cases} \]

\[ u[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k],\qquad \delta[n]=u[n]-u[n-1] \]

长度为 \(N\)、支撑在 \(0\le n\le N-1\) 的矩形窗记为

\[ R_N[n]=u[n]-u[n-N]=\sum_{k=0}^{N-1}\delta[n-k] \]

实正弦和复指数序列分别为 \(A\cos(\omega_0n+\phi)\) 与 \(Az^n\)；当 \(z=e^{j\omega_0}\) 时为简谐序列。

能量、功率、周期与对称性

离散信号的能量和平均功率定义为

\[ E_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2 \]

\[ P_x=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2 \]

\(0\leq E_x<\infty\) 时为能量信号，此时 \(P_x=0\)；除去恒为零的序列，通常把条件写成 \(0<E_x<\infty\)。\(E_x=\infty\) 且 \(0<P_x<\infty\) 时为功率信号。单位阶跃和单位模复指数属于功率信号，单位斜坡既不是有限能量信号也不是有限功率信号。

周期序列满足

\[ x[n+N]=x[n],\qquad N\in\mathbb Z_+ \]

对 \(e^{j\omega_0n}\)，存在周期的充要条件是 \(\omega_0/(2\pi)\) 为有理数；若写成最简分数 \(\omega_0/(2\pi)=p/q\)，基本周期为 \(q\)。连续周期信号采样后不一定成为周期序列，只有连续周期与 \(T_s\) 的比值为有理数时才有离散周期。周期为 \(N\) 的序列最多包含 \(N\) 个可分辨频率 \(\omega_k=2\pi k/N\)。

例如 \(\cos(10\pi n/60)\) 的基本周期为 12，\(\cos(11\pi n/60)\) 的基本周期为 120；\(\cos(n/2)\) 要求 \(N=4\pi k\) 为整数，无法满足，所以不是周期序列。

因果序列满足 \(x[n]=0\)（\(n<0\)）。绝对可和 \(\sum_n|x[n]|<\infty\) 是后续 DTFT 一致收敛的重要条件。

通常意义的收敛到 \(a\) 指：对任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(N\)，使 \(n>N\) 时 \(|x[n]-a|<\varepsilon\)。

共轭对称、共轭反对称分量为

\[ x_e[n]=\frac{x[n]+x^*[-n]}{2},\qquad x_o[n]=\frac{x[n]-x^*[-n]}{2} \]

且 \(x[n]=x_e[n]+x_o[n]\)。对实序列，它们退化为偶、奇分量。实因果序列可由偶分量恢复：

\[ x[n]=2x_e[n]u[n]-x_e[0]\delta[n] \]

若只给奇分量，还缺少 \(x[0]\)，恢复式为

\[ x[n]=2x_o[n]u[n]+x[0]\delta[n] \]

离散系统及其性质

离散系统是把输入序列映射为输出序列的算子 \(\mathcal T\{\cdot\}\)。同一输入输出关系可有不同框图实现。例如长度为 \(N\) 的滑动平均

\[ y[n]=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}x[n-m] \]

也可递推为

\[ y[n]-y[n-1]=\frac{x[n]-x[n-N]}{N} \]

最基本的系统包括恒等系统 \(y[n]=x[n]\)、延时系统 \(y[n]=x[n-n_0]\) 和一阶差分系统 \(y[n]=x[n]-x[n-1]\)。

系统的基本性质包括：

线性：\(\mathcal T\{a x_1+b x_2\}=a\mathcal T\{x_1\}+b\mathcal T\{x_2\}\)。
时不变：若 \(y[n]=\mathcal T\{x[n]\}\)，则 \(\mathcal T\{x[n-n_0]\}=y[n-n_0]\)。
因果：\(y[n_0]\) 只依赖 \(n\le n_0\) 的输入。有限预知的非因果系统可整体延时后实现。
BIBO 稳定：任意有界输入产生有界输出。累加器对单位阶跃产生斜坡，因而不稳定。
无记忆：\(y[n]\) 只依赖同一时刻的 \(x[n]\)。

性质必须逐项判断。\(y[n]=nx[n]\) 和 \(y[n]=x[n^2]\) 都是线性的，但前者时变，后者一般非因果；\(y[n]=x^2[n]\) 是非线性的，仿射关系 \(y[n]=Ax[n]+B\) 只有在 \(B=0\) 时才线性。\(y[n]=e^{x[n]}\) 是时不变的非线性无记忆系统，\(y[n]=e^nx[n]\) 则时变。离散下标恒为整数，所以 \(x[\lfloor n\rfloor]=x[n]\) 是因果恒等系统；\(y[n]=x[n]-x[n^2-n]\) 会在某些 \(n\) 依赖未来输入，因而非因果。

LTI 系统兼具线性与时不变性，复杂输入可按基本序列分解。真实系统常可精确建模为 LTI；非线性系统可在工作点附近线性化，时变系统也常在有限观察窗内近似为时不变。

正交展开、单位抽样响应与卷积

内积空间中的正交由内积为零定义。常见内积为

\[ \langle\mathbf x,\mathbf y\rangle=\sum_i x_i y_i^*,\qquad \langle x,y\rangle_{L_2}=\int_a^b x(t)y^*(t)\,\mathrm dt, \qquad \langle x,y\rangle_{\ell_2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^*[n] \]

内积满足加法性、共轭对称性、齐次性和正定性，并诱导范数、距离与夹角。完备正交基不仅彼此正交，而且能线性表示空间中的任意元素。

若 \(x=\sum_kc_k\phi_k\) 且 \(\{\phi_k\}\) 为完备正交基，则

\[ c_k=\frac{\langle x,\phi_k\rangle}{\langle\phi_k,\phi_k\rangle} \]

移位单位抽样 \(\{\delta[n-k]\}\) 构成离散序列空间的一组完备正交基：

\[ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] \]

若 \(h[n]=\mathcal T\{\delta[n]\}\)，LTI 性质给出

\[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] =x[n]*h[n] \]

卷积满足交换律、结合律和分配律。\(h[n]\) 有限长时为 FIR 系统，卷积是有限项求和；\(h[n]\) 无限长时为 IIR 系统，通常用差分方程递推实现。LTI 系统因果的充要条件为 \(h[n]=0\)（\(n<0\)），BIBO 稳定的充要条件为

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty \]

充分性来自 \(|y[n]|\le\|x\|_\infty\sum_m|h[m]|\)；必要性可取 \(x[n]=h^*[-n]/|h[-n]|\)（分母非零时），使各项相位共轭配准，从而令 \(y[0]=\sum_m|h[m]|\)。

特征函数、差分方程与状态空间

若 \(\mathcal T\{s[n]\}=\lambda s[n]\)，则 \(s[n]\) 是特征函数，\(\lambda\) 是特征值。LTI 系统的复指数特征函数满足

\[ \mathcal T\{z^n\}=H(z)z^n, \qquad H(z)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}h[m]z^{-m} \]

单位圆上的 \(z=e^{j\omega}\) 给出简谐特征函数和频率响应 \(H(e^{j\omega})\)。若输入由特征函数线性组合而成，输出仍是同一组特征函数，只改变各分量系数。

大量离散 LTI 系统可写为线性常系数差分方程（LCCDE）：

\[ \sum_{k=0}^{N}a_k y[n-k]=\sum_{m=0}^{M}b_m x[n-m] \]

初始状态必须明确。相同方程若有非零初始状态，整体输入输出映射未必线性或时不变；初始松弛时才对应因果 LTI 系统。累加器满足 \(y[n]-y[n-1]=x[n]\)。

若 \(H(z)\) 为有限阶有理式，差分方程可直接由分母、分子系数读出：

\[ H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{\sum_{m=0}^{M}b_mz^{-m}}{\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}} \]

状态空间表示取延迟单元输出为状态：

\[ \boldsymbol\lambda[n+1]=\mathbf A\boldsymbol\lambda[n]+\mathbf Bx[n], \qquad y[n]=\mathbf C\boldsymbol\lambda[n]+\mathbf Dx[n] \]

一般地，\(\boldsymbol\lambda[n]\in\mathbb C^q\)，若输入、输出维数分别为 \(r,m\)，则 \(\mathbf A\in\mathbb C^{q\times q}\)、\(\mathbf B\in\mathbb C^{q\times r}\)、\(\mathbf C\in\mathbb C^{m\times q}\)、\(\mathbf D\in\mathbb C^{m\times r}\)；SISO 情形为 \(m=r=1\)。\(\mathbf A\) 为状态矩阵，\(\mathbf B\)、\(\mathbf C\)、\(\mathbf D\) 分别为输入、输出和直接传输矩阵。

差分方程还可用中间序列写成一般形式

\[ W(z)=\frac{X(z)}{A(z)}=\frac{Y(z)}{B(z)} \]

\[ x[n]=\sum_{k=0}^{N}a_kw[n-k],\qquad y[n]=\sum_{m=0}^{M}b_mw[n-m] \]

对二阶系统

\[ y[n]+a_1y[n-1]+a_2y[n-2]=b_0x[n]+b_1x[n-1]+b_2x[n-2] \]

定义中间变量 \(w[n]\) 使

\[ x[n]=w[n]+a_1w[n-1]+a_2w[n-2], \qquad y[n]=b_0w[n]+b_1w[n-1]+b_2w[n-2] \]

取 \(\boldsymbol\lambda[n]=[w[n-1],w[n-2]]^\mathsf T\)，可得

\[ \mathbf A=\begin{bmatrix}-a_1&-a_2\\1&0\end{bmatrix},\quad \mathbf B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf C=\begin{bmatrix}b_1-b_0a_1&b_2-b_0a_2\end{bmatrix},\quad \mathbf D=b_0 \]